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2012-14576-0301
2012 南山大学 数理情報学部A方式 2月9日実施
易□ 並□ 難□
【1】 の中に答を入れよ.
(1) 3 つの行列 A= ( 53 21 ) ,B= ( 1-3 -2 5 ), C=( 2- 3- 45 ) がある. A の逆行列 A -1 を求めると, A- 1= ア である. B2 ⁢A3 ⁢C⁢A を求めると, B2 ⁢A3 ⁢C⁢A = イ である.
2012-14576-0302
(2) k>1 とする. 2 次方程式 k⁢ x2+ (1- 2⁢k) ⁢x-2 =0 の 2 つの解を α , β とする. 2 次方程式 x2-2 ⁢(k +1) ⁢x+4 ⁢k=0 の解の 1 つは β であり,もう 1 つの解を γ とする.このとき, β を求めると β = ウ である.さらに, β-α =γ-β が成り立つとき, k の値を求めると k = エ である.
2012-14576-0303
(3) y=ex +e- x とする. y=3 のとき, ex2 +e -x2 の値は e x2 +e- x2 = オ である.また, y=4 のとき, x= カ である.
2012-14576-0304
(4) 原点 O からの距離と点 A (1 ,1) からの距離の比が 2 :1 である点 P (x ,y) の軌跡は方程式 キ で与えられる.この図形上の点 Q ( s,t) における接線の傾きが 2 であるとき, Q の座標は ( s,t) = ク である.
2012-14576-0305
(5) 区別できない 9 個の球を A , B ,C , D の 4 つの箱のいずれかに入れる. A ,B , C , D に入れた球の個数をそれぞれ a , b ,c , d とし, X=1000 ⁢a+100 ⁢b+10 ⁢c+d とする. X のとりうる値を小さい順に並べたときに 31 番目にくる値を求めると ケ であり, X が 4 桁の数となる球の入れ方は コ 通りである.
2012-14576-0306
【2】 座標空間に 3 つの点 A (4 ,5,4 ), B( 6,2, 2) ,C (2 ,1,3 ) がある.
(1) 3 つの内積 AB →⋅ AC→ , BA→ ⋅BC→ , CA→ ⋅CB→ を求めよ.
(2) ▵ABC は鋭角三角形,直角三角形,鈍角三角形のいずれになるか.(1)の結果を用いて示せ.
(3) 点 P (a ,b,0 ) から, A ,B , C までの距離がそれぞれ 18 , 17 ,19 であるとき, a ,b の値を求めよ.
2012-14576-0307
【3】 a を実数として,関数 f⁡ (x) =a⁢cos ⁡x- cos⁡x 1+sin⁡ x (0 ≦x≦ π2 ) を考える.
(1) t=sin⁡ x とし, f′⁡ (x ) を a と t の式で表せ.
(2) f′ ⁡( π 6) =0 となるように a の値を定めよ.そのとき, f⁡( x) は x= π 6 で極大となることを示し,極大値 f ⁡( π 6 ) を求めよ.
(3) a の値を(2)のように定めるとき,曲線 y= f⁡( x) と x 軸と y 軸とで囲まれた部分の面積 S を求めよ.