2012 南山大 経済学部A・B2月10日実施

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2012 南山大学 経済学部

2月10日実施

A方式

易□ 並□ 難□

【1】    の中に答を入れよ.

(1)  ABC において, AC=10 BC=6 cosA= 45 とし,辺 AC の中点を M とする.このとき, tanA = であり, BCM の外接円の半径は である.

2012 南山大学 経済学部

2月10日実施

A方式

易□ 並□ 難□

【1】    の中に答を入れよ.

(2) 関数 f (x) =| x-1 |- |x +2| +| x-3 | が, f( a)= 0 を満たすとき, a= である.また, y=f (x ) のグラフと x 軸で囲まれた図形の面積は である.

2012 南山大学 経済学部

2月10日実施

A方式

易□ 並□ 難□

【1】    の中に答を入れよ.

(3)  k を正の実数とする. 3 次関数 f (x) =k x3+ 3k x2- 9k x+3 の極大値は である.また, f( x)= 0 が正の実数解を持つような k の値の範囲は である.

2012 南山大学 経済学部

2月10日実施

A方式

易□ 並□ 難□

【1】    の中に答を入れよ.

(4) 円 C: x2+ (y -2) 2=1 と点 A (2 ,0) がある.この C 上の点 P A を結ぶ線分 PA の中点を Q とするとき, Q の軌跡の方程式は である.また, Q の軌跡と C が交わる点の x 座標は である.

2012 南山大学 経済学部

2月10日実施

A方式,B方式 共通

B方式 は(3)

易□ 並□ 難□

【1】    の中に答を入れよ.

(5)  a>1 に対して最小値が 2 である関数 f (x) =loga ( x2-2 x+3 ) と,関数 g (x )= log2 (2 x-1 )2 がある.このとき, a= であり, f( x)= g( x) を満たす x の値は である.

2012 南山大学 経済学部

2月10日実施

A方式

易□ 並□ 難□

【2】  2 つの曲線 C 1:y= -x2 +10 C 2:y= 12 x2- 6x+ k がある.ただし, k は実数とする. C1 C2 はそれぞれ直線 l に接し, C1 l の接点の x 座標を a C2 l の接点の x 座標を a とする.

(1)  l の方程式を, a を用いて表せ.

(2)  k a で表せ.

(3)  b>0 であり, C2 y 軸および l で囲まれた図形の面積が 92 であるとき, a の値を求めよ.

2012 南山大学 経済学部

2月10日実施

B方式数学 ,数学 共通

易□ 並□ 難□

【1】    の中に答を入れよ.

(1) 次の連立不等式がある.ただし, a は実数とする.

{ x2 +ax -30 2 x2- x-3< 0

この連立不等式が解を持つための条件は である.また,この連立不等式の整数解がただ 1 つであるための条件は である.

2012 南山大学 経済学部

2月10日実施

B方式数学 ,数学 共通

易□ 並□ 難□

【1】    の中に答を入れよ.

(2)  k は実数とする.多項式 P (x) =x3 +kx 2+2 x+4 x- 2 で割ったときの余りは である.また, x+1 P (x ) の因数であるとき,方程式 P (x )=0 の虚数解は である.

2012 南山大学 経済学部

2月10日実施

B方式数学 ,数学 共通

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【1】    の中に答を入れよ.

(4) 正 12 角形の 12 個の頂点 P 1 P 2 P3 P12 から異なる 3 点を選び,それらを頂点とする三角形を作る.それが直角三角形となる 3 点の組合わせは 通りあり,鋭角三角形となるのは 通りである.

2012 南山大学 経済学部

2月10日実施

B方式数学 ,数学 共通

易□ 並□ 難□

【1】    の中に答を入れよ.

(5) 平面上に三角形 OAB と点 P があり, OP =9 AP+ BP を満たす. OP OA OB で表すと であり,三角形 OAB と四角形 OAPB の面積比は 1 : である.

2012 南山大学 経済学部

2月10日実施

B方式数学 ,数学 共通

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【2】  2 つの関数 f (x) =ax 2-4 ax +4a +2 g (x) =1 5 x 2 がある.また, y=f (x ) のグラフを C1 y= g( x) のグラフを C 2 とする.

(1)  C1 は,実数 a の値にかかわらず,ただ 1 つの定点を通る.その定点の座標を求めよ.

(2)  C1 C 2 の共有点の個数を求めよ.

(3)  C1 C 2 の共有点が 1 個であり, 0t {f (x) -g( x)} dx= 0 を満たす正の実数 t が存在するとき,その t の値を求めよ.

2012 南山大学 経済学部

2月10日実施

B方式数学 ,数学 共通

易□ 並□ 難□

【3】 数列 { an } は次の関係を満たす.

a1= 1 an +1= a12 +a2 2+ a32 ++ an2 an n=1 2 3

(1)  a2 a3 の値を求めよ.

(2) すべての自然数 n について, an+ 2= an+1 +a n が成立することを示せ.

(3)  p= 1+5 2 q= 1-5 2 とするとき,すべての自然数 n について,等式 が成立することを以下の手順で示せ.

5 an= pn- qn

(3a)  n=1 n=2 のそれぞれにおいて, が成立することを示せ.

(3b)  n=k n=k +1 のそれぞれにおいて が成り立つとき, n=k+ 2 についても が成立することを示せ( k =1 2 3 ).

2012 南山大学 経済学部

2月10日実施

B方式数学

易□ 並□ 難□

【1】

(3) 曲線 C: y=| x2+ x-2 | と傾き 1 の直線 l が点 ( x0, y0 ) で接するとき, (x 0,y 0) = である.また,不等式 x x0 の表す領域において, C l で囲まれた部分の面積は である.

2012 南山大学 経済学部

2月10日実施

B方式数学

易□ 並□ 難□

【1】    の中に答を入れよ.

(5) 関数 f (x) = 1-cos xx を微分すると, f (x) = であり, limx 0 f ( x) の値は である.

2012 南山大学 経済学部B方式

2月10日実施

数学

易□ 並□ 難□

【3】  2 つの関数 f (x) =2x -1 g (x) =logf (x )+ f( x+a) f( x) がある.ただし, a は正の実数とする.

(1)  f ( x) f (x ) で表せ.

(2)  g (x ) を, f( x) f (x+ a) および a を用いて表せ.

(3)  g (x) =0 となる x の値が 1 x2 を満たすとき, a のとりうる値の範囲を求めよ.