2012　南山大　経済学部Ａ・Ｂ2月10日実施MathJax

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(1)　$▵\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AC}=10\text{，}\mathrm{BC}=6\text{，}\cos A={\displaystyle \frac{4}{5}}$とし，辺$\mathrm{AC}$の中点を$\mathrm{M}$とする．このとき，$\tan A=\boxed{\text{ア}}$であり，$▵\mathrm{BCM}$の外接円の半径は$\boxed{\text{イ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(2)　関数$f(x)=|x-1|-|x+2|+|x-3|$が，$f(a)=0$を満たすとき，$a=\boxed{\text{ウ}}$である．また，$y=f(x)$のグラフと$x$軸で囲まれた図形の面積は$\boxed{\text{エ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(3)　$k$を正の実数とする．$3$次関数$f(x)=k{x}^3+3k{x}^2-9kx+3$の極大値は$\boxed{\text{オ}}$である．また，$f(x)=0$が正の実数解を持つような$k$の値の範囲は$\boxed{\text{カ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(4)　円$C:x^2+{(y-2)}^2=1$と点$\mathrm{A}(2,0)$がある．この$C$上の点$\mathrm{P}$と$\mathrm{A}$を結ぶ線分$\mathrm{PA}$の中点を$\mathrm{Q}$とするとき，$\mathrm{Q}$の軌跡の方程式は$\boxed{\text{キ}}$である．また，$\mathrm{Q}$の軌跡と$C$が交わる点の$x$座標は$\boxed{\text{ク}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(5)　$a>1$に対して最小値が$2$である関数$f(x)={\log }_a(x^2-2x+3)$と，関数$g(x)={\log }_2{(2x-1)}^2$がある．このとき，$a=\boxed{\text{ケ}}$であり，$f(x)=g(x)$を満たす$x$の値は$\boxed{\text{コ}}$である．

【２】　$2$つの曲線$C_1:y=-x^2+10$と$C_2:y={\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2-6x+k$がある．ただし，$k$は実数とする．$C_1\text{，}{C}_2$はそれぞれ直線$l$に接し，$C_1$と$l$の接点の$x$座標を$a\text{，}{C}_2$と$l$の接点の$x$座標を$a$とする．

(1)　$l$の方程式を，$a$を用いて表せ．

(2)　$k$を$a$で表せ．

(3)　$b>0$であり，$C_2$と$y$軸および$l$で囲まれた図形の面積が${\displaystyle \frac{9}{2}}$であるとき，$a$の値を求めよ．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(1)　次の連立不等式がある．ただし，$a$は実数とする．

$\{\begin{array}{l}{x}^2+ax-3\geqq 0\\ 2x^2-x-3<0\end{array}$

この連立不等式が解を持つための条件は$\boxed{\text{ア}}$である．また，この連立不等式の整数解がただ$1$つであるための条件は$\boxed{\text{イ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(2)　$k$は実数とする．多項式$P(x)=x^3+k{x}^2+2x+4$を$x-2$で割ったときの余りは$\boxed{\text{ウ}}$である．また，$x+1$が$P(x)$の因数であるとき，方程式$P(x)=0$の虚数解は$\boxed{\text{エ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(4)　正$12$角形の$12$個の頂点${\mathrm{P}}_1\text{，}{\mathrm{P}}_2\text{，}{\mathrm{P}}_3\text{，}\cdots \text{，}{\mathrm{P}}_{12}$から異なる$3$点を選び，それらを頂点とする三角形を作る．それが直角三角形となる$3$点の組合わせは$\boxed{\text{キ}}$通りあり，鋭角三角形となるのは$\boxed{\text{ク}}$通りである．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(5)　平面上に三角形$\mathrm{OAB}$と点$\mathrm{P}$があり，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=9\overrightarrow{\mathrm{AP}}+\overrightarrow{\mathrm{BP}}$を満たす．$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$で表すと$\boxed{\text{ケ}}$であり，三角形$\mathrm{OAB}$と四角形$\mathrm{OAPB}$の面積比は$1:\boxed{\text{コ}}$である．

【２】　$2$つの関数$f(x)=a{x}^2-4ax+4a+2$と$g(x)={\displaystyle \frac{1}{5}}{x}^2$がある．また，$y=f(x)$のグラフを$C_1\text{，}y=g(x)$のグラフを$C_2$とする．

(1)　$C_1$は，実数$a$の値にかかわらず，ただ$1$つの定点を通る．その定点の座標を求めよ．

(2)　$C_1$と$C_2$の共有点の個数を求めよ．

(3)　$C_1$と$C_2$の共有点が$1$個であり，${\displaystyle {\int }_0^t}\{f(x)-g(x)\}dx=0$を満たす正の実数$t$が存在するとき，その$t$の値を求めよ．

【３】　数列$\{a_n\}$は次の関係を満たす．

$a_1=1\text{，}{a}_{n+1}={\displaystyle \frac{{a_1}^2+{a_2}^2+{a_3}^2+\cdots +{a_n}^2}{a_n}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

(1)　$a_2\text{，}{a}_3$の値を求めよ．

(2)　すべての自然数$n$について，$a_{n+2}=a_{n+1}+a_n$が成立することを示せ．

(3)　$p={\displaystyle \frac{1+\sqrt{5}}{2}}\text{，}q={\displaystyle \frac{1-\sqrt{5}}{2}}$とするとき，すべての自然数$n$について，等式$\text{①}$が成立することを以下の手順で示せ．

$\sqrt{5}{a}_n=p^n-q^n\cdots \text{①}$

(3a)　$n=1\text{，}n=2$のそれぞれにおいて，$\text{①}$が成立することを示せ．

(3b)　$n=k\text{，}n=k+1$のそれぞれにおいて$\text{①}$が成り立つとき，$n=k+2$についても$\text{①}$が成立することを示せ（$k=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots$）．

【１】

(3)　曲線$C:y=|x^2+x-2|$と傾き$1$の直線$l$が点$(x_0,y_0)$で接するとき，$(x_0,y_0)=\boxed{\text{オ}}$である．また，不等式$x\leqq x_0$の表す領域において，$C$と$l$で囲まれた部分の面積は$\boxed{\text{カ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(5)　関数$f(x)={\displaystyle \frac{1-\cos x}{x}}$を微分すると，$f^{\prime }(x)=\boxed{\text{ケ}}$であり，$\underset{x\to 0}{\lim }{f}^{\prime }(x)$の値は$\boxed{\text{コ}}$である．

【３】　$2$つの関数$f(x)=\sqrt{2x-1}$と$g(x)=\log f(x)+{\displaystyle \frac{f(x+a)}{f(x)}}$がある．ただし，$a$は正の実数とする．

(1)　$f^{\prime }(x)$を$f(x)$で表せ．

(2)　$g^{\prime }(x)$を，$f(x)\text{，}f(x+a)$および$a$を用いて表せ．

(3)　$g^{\prime }(x)=0$となる$x$の値が$1\leqq x\leqq 2$を満たすとき，$a$のとりうる値の範囲を求めよ．