2012　南山大　数理情報Ｂ2月11日実施MathJax

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(1)　$2$つの行列$A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 1\end{array}\right)\text{，}B=\left(\begin{array}{cc}-1& -1\\ 2& 1\end{array}\right)$がある．$AB$の逆行列を求めると，${(AB)}^{-1}=\boxed{\text{ア}}$である．また，$A$で表される$1$次変換による点$(-3,3)$の像と，$B$で表される$2$次変換による点$(x,y)$の像が一致するとき，$(x,y)=\boxed{\text{イ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(2)　$\{a_n\}$を初項$7\text{，}$公差$4$の等差数列とする．$\{a_n\}$の初項から第$30$項までの和は$\boxed{\text{ウ}}$である．また，初項から第$50$項までのうちで，$a_n$の値が$3$の倍数であるものの和は$\boxed{\text{エ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(3)　条件$|a-2|+|a|=2$を満たす$a$の値の範囲を求めると$\boxed{\text{オ}}$である．また，方程式$\sqrt{x^2-4x+4}+\sqrt{x^2}=4$を解くと$x=\boxed{\text{カ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(4)　$a>1\text{，}x>0$とする．$x$の方程式$x^{{\log }_{2}a}=a$を解くと$x=\boxed{\text{キ}}$である．また，$x$の方程式$x^{{\log }_{2}x}=a$を解くと$x=\boxed{\text{ク}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(5)　つぼに赤球$6$個と白球$3$個が入っている．このつぼから同時に$5$個の球を取り出す．このとき，取り出した$5$個のうち，$3$個が赤球で$2$個が白球となる確率は$\boxed{\text{ケ}}$である．また，取り出した赤球の個数の期待値を求めると$\boxed{\text{コ}}$である．

【２】　$1$辺の長さが$1$の正四面体$\mathrm{OABC}$と$3$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$がある．$\mathrm{P}$は辺$\mathrm{OA}$を$k:1-k\text{（}0<k<1\text{）}$に内分する点であり，$\mathrm{Q}$は辺$\mathrm{AB}$を$l:1-l\text{（}0<l<1\text{）}$に内分する点であり，$\mathrm{R}$は辺$\mathrm{BC}$を$m:1-m\text{（}0<m<1\text{）}$に内分する点である．$▵\mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}\text{，}▵\mathrm{PQR}$の重心を$\mathrm{H}$とする．また，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とする．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$k\text{，}l\text{，}m\text{，}\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}$で表せ．

(2)　$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{H}\text{，}\mathrm{G}$が同一直線上にあるとき，$k$と$l$をそれぞれ$m$を用いて表せ．

(3)　(2)のとき，$m$のとりうる値の範囲を求めよ．

(4)　(2)のとき，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\perp \overrightarrow{\mathrm{PR}}$となる$m$の値を求めよ．

【３】　関数$f(x)={(\log x)}^2-3\log x+2\text{（}x>0\text{）}$を考える．

(1)　$f(x)=0$となる$x$の値を求めよ．

(2)　$f^{\prime }(x)\text{，}{f}^{″}(x)$を求めよ．

(3)　$f(x)$の増減，極値，曲線$y=f(x)$の凹凸および変曲点を調べて，そのグラフを図示せよ．

(4)　曲線$y=f(x)$と$x$軸とで囲まれた部分の面積$S$を求めよ．