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2012-14861-0101
2012 同志社大学 文化情報学部理系,理工学部,生命医科学部理系,心理学部理系,スポーツ健康科学部理系
全学部日程2月4日実施
易□ 並□ 難□
【1】 次の に適する数または式を,解答用紙の同じ記号のついた の中に記入せよ.
(1) 行列 A= (4 2 33 ) は A 2-7⁢ A+ ア ⁢ E= O を満たす.ただし E は単位行列, O は零行列である.よって実数 c1= イ を用いて A2-A =c1 ⁢(A -E) と変形できる.更に数列 cn= ウ を用いて An+1 -An =cn ⁢( A-E) ( n=2 ,3 , 4 ,⋯ ) が成り立つ.したがって A n の ( 1,1 ) 成分は エ となり, An の ( 2,2 ) 成分は オ となる.
2012-14861-0102
(2) 1 から 9 までの 9 枚の番号札を入れた箱がある.その箱から番号札を 1 枚ずつ 3 回取り出す.ただし,取り出した番号札はもとに戻さない.取り出した番号がすべて 3 以上で 6 以下である確率は カ であり,また,取り出した番号の中に 2 以下の番号と 7 以上の番号が両方ある確率は キ である.取り出した 3 枚の番号の和の期待値は ク である.
最初に取り出した番号を百の位,次に取り出した番号を十の位,最後に取り出した番号を一の位として得られる 3 桁の数の期待値は ケ である.また,この 3 桁の数が奇数である確率は コ である.
2012-14861-0103
【2】 a>0 とする.曲線 C: y=e a⁢x ⁢(2 ⁢e- 2⁢a⁢ x-a ⁢e- a⁢x +1) について次の問いに答えよ.
(1) 曲線 C と x 軸が異なる 2 点で交わるような a の値の範囲を求めよ.また,その 2 交点の x 座標を p , q ( p<q ) とするとき, p と q を a を用いてそれぞれ表せ.
(2) a が(1)で求めた範囲にあるとき,曲線 C と直線 y= -a および 2 直線 x =p ,x= q で囲まれる部分の面積 S を a を用いて表せ.
(3) lima→ ∞⁡ S を求めよ.
2012-14861-0104
【3】 点 O を原点とする座標空間において, x 軸の正の部分に点 A , y 軸の正の部分に点 B , z 軸の正の部分に点 C をとる. ▵ABC について,辺 AB の長さを c , 辺 BC の長さを a , 辺 CA の長さを b とする.次の問いに答えよ.
(1) ▵ABC の ∠A の 2 等分線と辺 BC の交点を D とする. OD→ を b , c ,OB → ,OC → を用いて表せ.
(2) ▵ABC の内接円の中心を I とする. OI→ を a , b, c, OA→ , OB→ , OC→ を用いて表せ.
(3) a=b= c のとき, OI→ が ▵ABC を含む平面と直交することを示せ.
(4) a=b= c=3 のとき, ▵ABC の内接円を底面とし,原点 O を頂点とする円錐の体積 V を求めよ.
2012-14861-0105
【4】 0≦α≦ π 2 とする.座標平面において連立不等式 0 ≦x≦ π2 , (y -sin⁡α )⁢( y-sin⁡ x)≦ 0 の表す領域 D について次の問いに答えよ.
(1) α= π6 のとき,領域 D を図示せよ.また,この場合の領域 D の面積を求めよ.
(2) 領域 D を x 軸のまわりに 1 回転してできる回転体の体積を V とする. V を α を用いて表せ.
(3) V の最小値とそのときの sin⁡ α の値を求めよ.
(4) V の最大値とそのときの sin⁡ α の値を求めよ.