2012 同志社大 理系学部2月4日実施MathJax

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2012 同志社大学 文化情報学部理系,理工学部,生命医科学部理系,心理学部理系,スポーツ健康科学部理系

全学部日程2月4日実施

易□ 並□ 難□

【1】 次の   に適する数または式を,解答用紙の同じ記号のついた   の中に記入せよ.

(1) 行列 A= (4 2 33 ) A 2-7 A+ E= O を満たす.ただし E は単位行列, O は零行列である.よって実数 c1= を用いて A2-A =c1 (A -E) と変形できる.更に数列 cn= を用いて An+1 -An =cn ( A-E) n=2 3 4 が成り立つ.したがって A n ( 1,1 ) 成分は となり, An ( 2,2 ) 成分は となる.

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全学部日程2月4日実施

易□ 並□ 難□

【1】 次の   に適する数または式を,解答用紙の同じ記号のついた   の中に記入せよ.

(2)  1 から 9 までの 9 枚の番号札を入れた箱がある.その箱から番号札を 1 枚ずつ 3 回取り出す.ただし,取り出した番号札はもとに戻さない.取り出した番号がすべて 3 以上で 6 以下である確率は であり,また,取り出した番号の中に 2 以下の番号と 7 以上の番号が両方ある確率は である.取り出した 3 枚の番号の和の期待値は である.

最初に取り出した番号を百の位,次に取り出した番号を十の位,最後に取り出した番号を一の位として得られる 3 桁の数の期待値は である.また,この 3 桁の数が奇数である確率は である.

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全学部日程2月4日実施

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【2】  a>0 とする.曲線 C: y=e ax (2 e- 2a x-a e- ax +1) について次の問いに答えよ.

(1) 曲線 C x 軸が異なる 2 点で交わるような a の値の範囲を求めよ.また,その 2 交点の x 座標を p q p<q とするとき, p q a を用いてそれぞれ表せ.

(2)  a が(1)で求めた範囲にあるとき,曲線 C と直線 y= -a および 2 直線 x =p x= q で囲まれる部分の面積 S a を用いて表せ.

(3)  lima S を求めよ.

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【3】 点 O を原点とする座標空間において, x 軸の正の部分に点 A y 軸の正の部分に点 B z 軸の正の部分に点 C をとる. ABC について,辺 AB の長さを c BC の長さを a CA の長さを b とする.次の問いに答えよ.

(1)  ABC A 2 等分線と辺 BC の交点を D とする. OD b c OB OC を用いて表せ.

(2)  ABC の内接円の中心を I とする. OI a b c OA OB OC を用いて表せ.

(3)  a=b= c のとき, OI ABC を含む平面と直交することを示せ.

(4)  a=b= c=3 のとき, ABC の内接円を底面とし,原点 O を頂点とする円錐の体積 V を求めよ.

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全学部日程2月4日実施

易□ 並□ 難□

【4】  0α π 2 とする.座標平面において連立不等式 0 x π2 (y -sinα )( y-sin x) 0 の表す領域 D について次の問いに答えよ.

(1)  α= π6 のとき,領域 D を図示せよ.また,この場合の領域 D の面積を求めよ.

(2) 領域 D x 軸のまわりに 1 回転してできる回転体の体積を V とする. V α を用いて表せ.

(3)  V の最小値とそのときの sin α の値を求めよ.

(4)  V の最大値とそのときの sin α の値を求めよ.

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