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2012-14861-0201
2012 同志社大学 文系学部全学部日程2月5日実施
易□ 並□ 難□
【1】 次の に適する数または式を,解答用紙の同じ記号の付いた の中に記入せよ.
関数 f⁡ (x) =2⁢x 3-9⁢ x2+ 27 , および関数 g⁡ (x) =8x- 9⋅2 2⁢x- 1+k を考える.ただし, k は実数とする.
関数 f⁡ (x ) は, x= ア のとき極小値 イ をとる.
方程式 g⁡ (x )=0 が異なる 2 つの実数解を持つとき,定数 k の値の範囲は ウ < k< エ である.
曲線 C: y=f⁡ (x ) 上の点 P (t ,f⁡( t)) における接線 l の方程式は, オ である.直線 l が点 ( 0,40 ) を通るとき,曲線 C と直線 l の接点 P の x 座標は カ であり,曲線 C と直線 l の交点で,接点 P とは異なる点 Q の x 座標は キ である.またこのとき,曲線 C に接し,直線 l に平行で,直線 l とは異なる直線 m の方程式は, ク である.さらに,曲線 C と直線 m との接点を R とおくと, 2 点 P , R を通る直線 n の方程式は ケ であり,直線 n と曲線 C との交点のうち, 2 点 P , R 以外の交点 S の y 座標は コ である.
2012-14861-0202
【2】 p ,q を素数とし, a ,b を正の整数とする. 2 次方程式 x 2-p 2⁢x -q=0 が x =a+b ⁢5 を解に持つとき,次の問いに答えよ.
(1) 2 次方程式 x 2-p 2⁢x -q=0 が x= a-b⁢ 5 を解に持つことを示せ.
(2) p ,a の値をそれぞれ求めよ.
(3) q を 10 で割ったときの余りを求めよ.
(4) b ,q の値を q の値が小さい順に 2 組求めよ.
2012-14861-0203
【3】 正の実数 α と,次の条件によって定められる数列 { an} がある.
a1= α ,an +1= an2 -2 ( n=1 ,2 ,3 ,⋯ )
次の問いに答えよ.
(1) cos⁡2⁢ θ ,cos⁡4 ⁢θ をそれぞれ cos⁡ θ を用いて表せ.
(2) 0<α≦ 2 のとき,定数 p が 0≦ p< π2 であり, α=2⁢ cos⁡p を満たすとする.このとき,数列 { an } の一般項を推測し n , p を用いて表せ.また,推測が正しいことを数学的帰納法で証明せよ.
(3) f⁡( t)= 12 ⁢ ( 3t+ 3-t ) とおく. f⁡( 2⁢t) ,f⁡( 4⁢t) をそれぞれ f⁡ (t ) を用いて表せ.
(4) α>2 のとき, α=2⁢ f⁡( c) を満たす正の実数 c を α を用いて表せ.
(5) α>2 のとき,数列 { an } の一般項を n , c を用いて表せ.ただし c は α =2⁢f ⁡(c ) を満たす正の実数である.