2012　同志社大　政策・文化情報・スポーツ健康科学部文系2月7日実施MathJax

【１】　次の$\boxed{}$に適する数または式を，解答用紙の同じ記号の付いた$\boxed{}$の中に記入せよ．

　$n$を正の整数とし，数列$\{a_n\}$は$a_n>0$を満たすとする．また，$3$次多項式$f(x)=x^3+6x^2+(5-a_n)x-6-2a_n$がある．

　$3$次方程式$f(x)=0$の$3$つの実数解を$p_n\text{，}{q}_n\text{，}{r}_n$（ただし，$p_n<q_n<r_n$）とおく．$f(-2)=\boxed{\text{ア}}$より，$p_n=\boxed{\text{イ}}\text{，}{q}_n=\boxed{\text{ウ}}\text{，}{r}_n=\boxed{\text{エ}}$である．

　数列$\{a_n\}$が，$a_1=5\text{，}{a}_2=12\text{，}$および漸化式$a_{n+2}=2a_{n+1}-a_n+2\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$で定められているとき，$b_n=a_{n+1}-a_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$とおくと，$n$を用いて$b_n=\boxed{\text{オ}}$となるしたがって，$a_n$の一般項は$a_n=\boxed{\text{カ}}$となり，$r_n=\boxed{\text{キ}}$である．

　また，${\displaystyle \sum _{k=1}^n}(p_k+r_k)=\boxed{\text{ク}}\text{，}{\displaystyle \sum _{k=1}^n}{p}_k{r}_k=-{\displaystyle \frac{1}{6}}n\times (\boxed{\text{ケ}})\text{，}$および${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{1}{p_k{r}_k}}=-{\displaystyle \frac{5}{12}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}\times (\boxed{\text{コ}})$である．

【２】　半径$r$の円を底面に持ち，高さ$h$の円錐が半径$2$の球に内接するとき，次の問いに答えよ．

(1)　$0<h<2$のとき，$r$を$h$を用いて表せ．また$2\leqq h<4$のとき，$r$を$h$を用いて表せ．

(2)　$0<h<4$のとき，円錐の体積$V$を$h$を用いて表せ．

(3)　$0<h<4$のとき，円錐の体積$V$の最大値とそのときの$h$の値をそれぞれ求めよ．

(4)　円錐の体積$V$が最大となるとき，円錐の表面積を求めよ．

【３】　$a$を実数とし，座標平面上に$2$点$\mathrm{A}(a,0)\text{，}\mathrm{B}(3,1)$があるとき，次の問いに答えよ．

(1)　$2$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$から等距離にある点の軌跡を表す方程式を$a$を用いて表せ．

(2)　線分$\mathrm{AB}$の垂直二等分線を$l$とする．$a$が実数全体を動くとき，直線$l$が通る点$(x,y)$の全体を図示せよ．

(3)　$a$が$a\geqq 0$の範囲を動くとき，線分$\mathrm{AB}$の垂直二等分線$l$が通る点$(x,y)$の全体を図示せよ．

(4)　$a$が$0\leqq a\leqq 5$の範囲を動くとする．点$(x,y)$を通る線分$\mathrm{AB}$の垂直二等分線が$1$本あるとき，点$(x,y)$の全体を図示せよ．