2012　同志社大　理系学部2月7日実施MathJax

【１】　次の$\boxed{}$に適する数または式を，解答用紙の同じ記号の付いた$\boxed{}$の中に記入せよ．

(1)　$2$次方程式$3x^2-(1+2\sqrt{2})x+\alpha =0$の$2$つの解が，$\cos \theta \text{，}\sin \theta (0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{4}})$と書けるとする．解と係数の関係より$\cos \theta +\sin \theta =\boxed{\text{ア}}$であり，$\cos \theta \sin \theta =\boxed{\text{イ}}$となる．これより，$\alpha =\boxed{\text{ウ}}$となり，$\cos \theta =\boxed{\text{エ}}\text{，}\sin \theta =\boxed{\text{オ}}$となる．

【１】　次の$\boxed{}$に適する数または式を，解答用紙の同じ記号の付いた$\boxed{}$の中に記入せよ．

(2)　曲線$C_1:y={\log }_{2}x$と$x$軸との交点の座標は$(\boxed{\text{カ}},0)$であり，曲線$C_2:y={\log }_4(x+2)$と$y$軸との交点の座標は$(0,\boxed{\text{キ}})$である．また曲線$C_1$と$C_2$の交点の座標は$(\boxed{\text{ク}},\boxed{\text{ケ}})$である．曲線$C_1$と曲線$C_2$と$x$軸および$y$軸で囲まれる部分の面積は$\boxed{\text{コ}}$である．

【２】　行列$A=\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{1}{3}}& 5\\ 0& 3\end{array}\right)$に対して，$A^n=\left(\begin{array}{cc}{p}_n& q_n\\ r_n& s_n\end{array}\right)\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

とおく．次の問いに答えよ．

(1)　$A^2$と$A^3$を求めよ．

(2)　数列$\{p_n\}\text{，}\{r_n\}\text{，}\{s_n\}$の一般項を推測して，その結果を数学的帰納法によって証明せよ．

(3)　$q_{n+1}$を$q_n$を用いて表せ．

(4)　数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

(5)　$a\ne 0\text{，}b>0$とする．数列$\{a_n\}\text{，}\{b_n\}$をそれぞれ，$a_n=a{p}_n+b{q}_n\text{，}{b}_n=a{r}_n+b{s}_n$で定める．このとき$u=\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{a_n}{\sqrt{{a_n}^2+{b_n}^2}}}\text{，}$および$v=\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{b_n}{\sqrt{{a_n}^2+{b_n}^2}}}$を求めよ．

【３】　$a>0$とする．座標平面において$2$つの曲線$C_1:y=e^x-e^a+1$および曲線$C_2:x=a-\log y$について，次の問いに答えよ．

(1)　曲線$C_1$と$C_2$の共有点の座標を求めよ．

(2)　曲線$C_1$と$C_2$の概形を描け．

(3)　曲線$C_1\text{，}{C}_2$および$y$軸で囲まれる図形$D$の面積$S$を求めよ．

(4)　図形$D$と領域$y\leqq 0$の共通部分の面積が$1$となるときの$a$の値を求めよ．

【４】　$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上に$2$点$\mathrm{A}(a,0)\text{，}\mathrm{B}(0,1)$をとる．ただし，$a>0$とする．線分$\mathrm{OA}$上に点$\mathrm{P}(p,0)\text{（}0\leqq p<a\text{）}$をとり，点$\mathrm{P}$から線分$\mathrm{AB}$に下ろした垂線の足を$\mathrm{Q}$とする．次の問いに答えよ．

(1)　線分$\mathrm{PQ}$の長さを求めよ．

(2)　$▵\mathrm{BPQ}$を線分$\mathrm{AB}$のまわりに$1$回転してできる円錐の体積を$V$とする．$V$を$p$を用いて表せ．

(3)　$0\leqq p<a$のとき，$V$の最大値を求めよ．