2012　同志社大　法・グローバルコミュニケーション学部2月8日実施MathJax

　座標平面上に円$S:x^2+y^2=4$と，円$S$上に異なる$2$点$\mathrm{A}(a,b)\text{，}\mathrm{B}(c,d)$があり，$ad-bc\ne 0$を満たしている．

　点$\mathrm{A}$における円$S$の接線$l$の方程式は，$ax+by=\boxed{\text{ア}}$である．点$\mathrm{B}$における円$S$の接線を$m$とおくと，$2$直線$l$と$m$の交点$\mathrm{P}$の座標は，$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$を用いて$\boxed{\text{イ}}$である．ここで，点$\mathrm{P}$の座標を$\mathrm{P}(p,q)$とおくと，直線$\mathrm{AB}$の方程式は，$p\text{，}q$を用いて$\boxed{\text{ウ}}$となる．

　次に$0\leqq \theta \leqq \pi$のとき，$t=\sin \theta +\cos \theta$とおくと，$t$の値のとりうる範囲は$\boxed{\text{エ}}$である．また，$t$を用いて$\sin \theta \cos \theta =\boxed{\text{オ}}$と表せる．このとき，関数$z=2\sin \theta \cos \theta +\sqrt{2}\sin \theta +\sqrt{2}\cos \theta +6$を$t$を用いて表すと，$z=\boxed{\text{カ}}$となる．$z$の最大値は$\boxed{\text{キ}}$であり，最小値は$\boxed{\text{ク}}$となる．最小値をとる$\theta$の値は$\boxed{\text{ケ}}$である．

　交点$\mathrm{P}(p,q)$が，原点$\mathrm{O}$を中心とし$z$の最大値を半径とする円の周上を動くように，$2$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$が円$S$の周上を動くとき，直線$\mathrm{AB}$が通らない範囲の面積は$\boxed{\text{コ}}$である．

(1)　$a>2b>c$となる確率を求めよ．

(2)　$a\text{，}2b\text{，}c$を辺の長さとする三角形を作ることができる$a\text{，}b\text{，}c$の条件を求めよ．

(3)　$a\text{，}2b\text{，}c$を辺の長さとする直角三角形を作ることができる$a\text{，}b\text{，}c$の組$(a,b,c)$のとり方は何通りあるか．

(4)　$b=2$のとき，$a\text{，}2b\text{，}c$を辺の長さとする三角形を作ることができる$a\text{，}c$の組$(a,c)$のとり方は何通りあるか．

(5)　$a\text{，}2b\text{，}c$を辺の長さとする三角形を作ることができる確率を求めよ．

(1)　辺$\mathrm{A}{\mathrm{B}}_1$の長さを，$\sin \gamma \text{，}\sin (\beta +\gamma )\text{，}a$を用いて表せ．また，$▵\mathrm{A}{\mathrm{B}}_1{\mathrm{C}}_1$の面積$T_1$を，$\sin \beta \text{，}\sin \gamma \text{，}\sin (\beta +\gamma )\text{，}a$を用いて表せ．

(2)　内接円$S_1$の半径$r_1$を，$\sin \beta \text{，}\sin \gamma \text{，}\sin (\beta +\gamma )\text{，}a$を用いて表せ．

(3)　正の整数$n$に対して，$▵\mathrm{A}{\mathrm{B}}_n{\mathrm{C}}_n$の内接円$S_n$の半径を$r_n$とする．${\displaystyle \frac{r_{n+1}}{r_n}}$の値を$\sin \beta \text{，}\sin \gamma \text{，}\sin (\beta +\gamma )$を用いて表せ．

(4)　円$S_n$の面積を$U_n$とおく．$\cos \beta ={\displaystyle \frac{4}{5}}\text{，}\cos \gamma =-{\displaystyle \frac{3}{5}}$のとき，${\displaystyle \frac{1}{T_1}}{\displaystyle \sum _{k=1}^n}{U}_k$の値を$n$を用いて表せ．