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2012-14861-0701
2012 同志社大学 神・心理・商学部2月9日実施
易□ 並□ 難□
【1】 次の に適する数または式を,解答用紙の同じ記号の付いた の中に記入せよ.
(1) 関数 f⁡ (x) =log2 ⁡(2 ⁢x+1 )+ log12 ⁡( 4-x2 ) を考える.このとき, f⁡( x)= 0 を満たす x は ア である.
また, f⁡( x)< 0 を満たす x の範囲は イ となり,この範囲に x があるとき, y=4 x-2 x+1 +3 の最小値は ウ である.
2012-14861-0702
(2) 関数 g⁡ (x) =2⁢cos ⁡3⁢θ -cos⁡2 ⁢θ-4 ⁢cos3 ⁡θ+4 ⁢cos⁡θ を範囲 0< θ<π で考える. g⁡( θ) は cos ⁡θ の 3 次式として g ⁡(θ )=a ⁢cos3 ⁡θ+ b⁢cos 2⁡θ +c⁢cos ⁡θ+d と表せる.このとき, a ,b , c ,d は次のようになる.
a= エ , b= オ , c= カ , d= キ
g⁡( θ)= 0 の解を θ 1 ,θ2 , θ3 ( θ 1<θ 2<θ 3 ) とする.
s=cos⁡ θ1+ cos⁡2⁢ θ2+ cos⁡3⁢ θ3 とおくと, s の値は ク となり, t=cos⁡ θ13 +cos⁡ θ22 +cos⁡ θ3 とおくと, t の値は ケ となる.また,正の整数 l , m ,n が cos ⁡l⁢ θ1= cos⁡m⁢ θ2= cos⁡n⁢ θ3 を満たすとき, l+m+ n の最小値は コ である.
2012-14861-0703
【2】 a ,b を正の実数とする.放物線 C: y=x2 +4 と,直線 L: y=x+ b について次の問いに答えよ.
(1) 放物線 C と x 軸,および y 軸と直線 x= a で囲まれる図形 D の面積 S ⁡(a ) を求めよ.
(2) 放物線 C と直線 L が接するときの b の値を求めよ.
(3) 直線 L と x 軸,および y 軸と直線 x= a で囲まれる図形 E の面積 R ⁡(a ) を求めよ.放物線 C と直線 L が共有点を持たず 2 ⁢R⁡( a)= S⁡( a) となるとき, b を a で表し, a の値の取り得る範囲を求めよ.
(4) a が(3)で求めた範囲を動くとき,直線 L の y 切片 b の最小値を求めよ.
2012-14861-0704
【3】 原点を O とする座標空間において,点 A (- 1,3, -2) と点 B ( -4,- 2,6) がある.次の問いに答えよ.
(1) ▵OAB において ∠AOB の大きさを求めよ.
(2) 線分 AB の長さと ▵OAB の面積を求めよ.
(3) 原点 O から直線 AB に下ろした垂線の足 H の座標と線分 OH の長さを求めよ.
(4) 点 C (p ,q,r )( r> 0) があり,線分 OC の長さは 1 であり,直線 OC は 2 直線 OA , OB の両方に直交する.点 C の座標 ( p,q, r) を求めよ.
(5) ▵ABC を含む平面上に点 P をベクトル OP → がこの平面に垂直になるようにとる. OP→ の大きさを求めよ.