2012　同志社大学　理工学部2月10日実施MathJax

2012-14861-0901

2012　同志社大学　理工学部2月10日実施

易□　並□　難□

【１】　次のに適する数を，解答用紙の同じ記号のついたの中に記入せよ．

(1)　数列 ${a_{n}}$ を $a_{1} = 1 ， a_{n + 1} = 3 a_{n} + 4 n （ n = 1 ， 2 ， 3 ， \dots ）$ によって定める．数列 ${b_{n}}$ を $b_{n} = a_{n + 1} - a_{n} （ n = 1 ， 2 ， 3 ， \dots ）$ によって定めると数列 ${b_{n}}$ は，漸化式 $b_{n + 1} = ア b_{n} + イ（ n = 1 ， 2 ， 3 ， \dots ）$ を満たす．したがって，数列 $b_{n}$ の一般項は $ウ$ であり数列 $a_{n}$ の一般項は $エ$ である．

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易□　並□　難□

【１】　次のに適する数を，解答用紙の同じ記号のついたの中に記入せよ．

(2)　座標平面において，媒介変数 $θ$ を用いて， $x = (1 + \cos θ) \cos θ ， y = (1 + \cos θ) \sin θ （ 0 ≦ θ ≦ π ）$ と表される曲線 $C$ を考える． $x$ は $θ = オ$ のとき最小値 $カ$ をとり， $y$ は $θ = キ$ のとき最大値 $ク$ をとる．

曲線 $C$ 上の動点 $(x, y) = ((1 + \cos θ) \cos θ, (1 + \cos θ) \sin θ)$ と原点との距離 $r$ は，媒介変数 $θ$ を用いて $ケ$ と表される．したがって， $r$ の最大値は $コ$ である．

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易□　並□　難□

【２】　四面体 $OABC$ において $\vec{a} = \vec{OA} ， \vec{b} = \vec{OB} ， \vec{c} = \vec{OC}$ とする．次の問いに答えよ．

(1)　 $▵ OAB ， ▵ OBC ， ▵ OCA$ の重心をそれぞれ $P ， Q ， R$ とする． $\vec{OP} ， \vec{OQ} ， \vec{OR}$ をそれぞれ $\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c}$ で表せ．

(2)　 $▵ PQR$ の面積は $▵ ABC$ の面積の何倍になっているかを求めよ．

(3)　 $▵ ABC$ の重心を $S$ とする．四面体 $PQRS$ の体積は四面体 $OABC$ の体積の何倍になっているかを求めよ．

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易□　並□　難□

【３】　次式がすべての実数 $x$ について成り立つとき，次の問いに答えよ．

$\int_{0}^{x} (x - t) f (t) d t = \log (1 + x^{2})$

(1)　関数 $f (x)$ を求め，そのグラフの概形を描け．

(2)　曲線 $y = f (x)$ と $x$ 軸との交点を $P (a, 0) ， Q (b, 0) （ a < b ）$ とする． $a$ と $b$ の値を求めよ．

(3)　 $a ≦ x ≦ b$ において，曲線 $y = f (x)$ と $x$ 軸で囲まれる部分の面積 $S_{1}$ を求めよ．

(4)　関数 $g (x) ， h (x)$ を $g (x) = x \int_{0}^{x} f (t) d t ， h (x) = \frac{2}{1 + x^{2}}$ とする．このとき，曲線 $y = g (x)$ と曲線 $y = h (x)$ で囲まれる部分の面積 $S_{2}$ を求めよ．

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【４】　 $- 2 < α < 2$ とし，座標平面において，点 $P (α, 0)$ を通る $y$ 軸と平行な直線を $l ，$ 直線 $l$ と楕円 $\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ の交点を $Q ， R$ とする．ただし， $Q$ の $y$ 座標は $R$ の $y$ 座標より大きいとする．次の問いに答えよ．

(1)　点 $Q ， R$ の座標を $α$ を用いて表せ．

(2)　線分 $QR$ を直径とする円 $C$ の方程式を求めよ．

(3)　 $α$ が $- 2 < α < 2$ を動くとき，円 $C$ の通りうる範囲 $D$ を図示せよ．

(4)　(3)で求めた範囲 $D$ 内において， $x$ 座標が最大となる点を求め，この点を通る円 $C$ の方程式を求めよ．