2012　立命館大　文系学部Ａ方式2月1日実施MathJax

【１】

(1)　$b>0\text{，}n$を正の整数とする．${(ax+b)}^n$を展開して$x$の降べきの順に整理したとき，$2\text{，}3\text{，}4$番目の項の係数がそれぞれ$-96\text{，}60\text{，}-20$である．このとき，$a=\boxed{\text{ア}}\text{，}b=\boxed{\text{イ}}\text{，}n=\boxed{\text{ウ}}$である．

【１】

(2)　空間内に$4$点$\mathrm{A}(1,-1,3)\text{，}\mathrm{B}(x,1,0)\text{，}\mathrm{C}(1,y,5)\text{，}\mathrm{D}(-3,1,3)$がある．

　$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{\mathrm{AC}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AD}}=0$となるとき，$x=\boxed{\text{エ}}\text{，}y=\boxed{\text{オ}}$である．

　このとき$\theta =\angle \mathrm{BAC}$とするとき，$\cos \theta ={\displaystyle \frac{\boxed{\text{カ}}}{\sqrt{\boxed{\text{キ}}}}}$であるから，$\angle \mathrm{ABC}$の面積は$\boxed{\text{ク}}$で，四面体$\mathrm{ABCD}$の体積は$\boxed{\text{ケ}}$である．

【１】

(3)　条件$1<x<2a$が，条件$2a+b\leqq x\leqq b+16$であるための必要条件となるとき，

$\boxed{\text{コ}}<a\leqq \boxed{\text{サ}}\text{，}\boxed{\text{シ}}a+\boxed{\text{ス}}<b<\boxed{\text{セ}}a-\boxed{\text{ソ}}$

が成り立つ．

　この条件を満たす整数$a\text{，}b$のうち，$3a-b$の値が最小となるのは，$a=\boxed{\text{タ}}\text{，}b=\boxed{\text{チ}}$のときである．

【２】　ふたつの町をつなぐ自動車用の橋がある．この橋は，その上を通行する自動車の台数（一方向）が$20$台以下の場合には，どの自動車も$5$分で通過できる．これを越えると橋は渋滞しはじめ，$1$台増えるごとにどの自動車も通過時間が$10$秒だけ余計にかかるようになる．自動車の大きさは無視できるものとし，以下の問いに答えよ．

(1)　橋の上を通過する自動車の台数を整数$n$とすると，自動車の通過時間$T_n$（単位：分）および遅延（余計にかかる）時間$D_n$（ただし，$D_n=T_n-5$）は

$n\leqq 20$の時，$T_n=\boxed{\text{ツ}}{D}_n=\boxed{\text{テ}}$

$n\geqq 21$の時，$T_n=\boxed{\text{ト}}{D}_n=\boxed{\text{ナ}}$

と表される．

(2)　既に$n$台が通行しているところに，新たにこの橋を渡ろうとするもう$1$台の自動車がある．遅延時間が$5$分を超えるようであれば，この自動車の運転手はこの橋の利用を諦め迂回するとする．それは，$n\geqq \boxed{\text{ニ}}$の時である．

(3)　すべての自動車の遅延時間を合計した総遅延時間$L_n$を

$L_n=n{D}_n$

とすると，$L_n$は

$n\leqq 20$の時，$L_n=\boxed{\text{ヌ}}$

$n\geqq 21$の時，$L_n=\boxed{\text{ネ}}$

となる．

(4)　(2)と同様，新たに橋を渡ろうとする自動車がある．この$1$台が加わると総遅延時間は以下のように変化する．

$n\leqq 19$の時，$L_{n+1}-L_n=\boxed{\text{ノ}}$

$n=20$の時，$L_{n+1}-L_n=\boxed{\text{ハ}}$

$n\geqq 21$の時，$L_{n+1}-L_n=\boxed{\text{ヒ}}$

(5)　この自動車の運転手が，新たに橋を渡ることによる総遅延時間の増加が$5$分を超えると，この運転手はこの橋の利用を諦め迂回するとする．それは，$n\geqq \boxed{\text{フ}}$の時である．

【３】　$p\text{，}q$を定数とする$2$つの放物線

$\begin{array}{ll}y=x^2& \cdots \text{①}\\ y=-x^2+px+q& \cdots \text{②}\end{array}$

が$2$点$\mathrm{A}({\alpha }_1,{\beta }_1)\text{，}\mathrm{B}({\alpha }_2,{\beta }_2)$で交わっているとする．ただし，${\alpha }_2>{\alpha }_1$とする．

(1)　線分$\mathrm{AB}$の長さ$L$を$p\text{，}q$を用いて表せ．

(2)　放物線$\text{①}\text{，}\text{②}$が囲む図形の面積$S$を$p\text{，}q$を用いて表せ．

(3)　$S=9$であるとき，$q$を$p$で表せ．

(4)　$S=9$を満たしながら，$p\text{，}q$が変化するとき，線分$\mathrm{AB}$の中点$\mathrm{M}$の軌跡を表す曲線の方程式を求めよ．また，このとき線分$\mathrm{AB}$の長さの最小値を求めよ．