2012　立命館大　文系学部Ａ方式2月2日実施MathJax

【１】

(1)　光があるガラス板を通り抜けるごとに，光量は通り抜ける前の光量の$a$倍になる．さらに，光がこのガラス板を$5$枚通り抜けると，光量はもとの光量の${\displaystyle \frac{1024}{3125}}$倍になることがわかっている．

　このとき，$a=\boxed{\text{ア}}$になり，$x$枚のガラスを重ねた場合，ガラスを通り抜ける光量はもとの光量の$\boxed{\text{イ}}$倍になる．

　ここで${\log }_{10}2=0.301$を使うと${\log }_{10}\boxed{\text{ア}}=\boxed{\text{ウ}}$となる．

　したがって，重ねるガラスの枚数を増やしていったとき，$\boxed{\text{エ}}$枚重ねたときに初めて光量がもとの光量の${\displaystyle \frac{1}{100}}$以下になる．ただし$\boxed{\text{エ}}$は整数で解答せよ．

【１】

(2)　四面体$\mathrm{OABC}$において，線分$\mathrm{AB}$を$3:2$に内分する点を$\mathrm{P}$，線分$\mathrm{OP}$を$5:1$に外分する点を$\mathrm{Q}\text{，}$線分$\mathrm{CQ}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{R}$とする．

　三角形$\mathrm{ARB}$の重心を$\mathrm{G}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OG}}=\boxed{\text{オ}}\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\boxed{\text{カ}}\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\boxed{\text{キ}}\overrightarrow{\mathrm{OC}}$と表せる．

　また，線分$\mathrm{OG}$と平面$\mathrm{ABC}$の交点を$\mathrm{S}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OS}}=\boxed{\text{ク}}\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\boxed{\text{ケ}}\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\boxed{\text{コ}}\overrightarrow{\mathrm{OC}}$と表せる．

　ただし，$\boxed{\text{オ}}\text{，}$$\boxed{\text{カ}}\text{，}$$\boxed{\text{キ}}\text{，}$$\boxed{\text{ク}}\text{，}$$\boxed{\text{ケ}}\text{，}$$\boxed{\text{コ}}$は既約分数で解答せよ．

【１】

(3)　$\theta$は$0\leqq \theta \leqq 2\pi$を満たす実数とし，関数$y=-x^2+6x\cos \theta +4$で表される曲線を$C$とする．

　曲線$C$上の点$(a,-a^2+6a\cos \theta +4)$における曲線の接線の方程式は，$y=(\boxed{\text{サ}})x+\boxed{\text{シ}}$である．

　$\theta =\boxed{\text{ス}}\text{，}\boxed{\text{セ}}\text{（}\boxed{\text{ス}}<\boxed{\text{セ}}\text{）}$のとき，点$(1,6)$を通る曲線$C$の接線は$1$本に定まり，このとき，この接線と曲線$C\text{，}$および$x$軸で囲まれた図形の面積は$\boxed{\text{ソ}}$である．

【２】　ある人の収入と支出は時間$t$の関数で，収入は$f(t)\text{，}$支出は$g(t)$で表される．収入が支出を上回るとき，この人は貯蓄あるいは借り入れの返済を行っていることになり，反対に支出が収入を上回るとき，借り入れあるいは貯蓄の取り崩しを行っていることになる．$f(t)$と$g(t)$がそれぞれ

$f(t)={\displaystyle \frac{1}{3}}{t}^3-{\displaystyle \frac{7}{2}}{t}^2+10t+20$

$g(t)=at+20$

と定められ，$a$はある定数とする．現在は$t=0$で表される．

　この人が貯蓄や借り入れを行う際の利子率は$0$であることを仮定し，現在から$t=p$までの貯蓄の残高$S(p)$は

$S(p)={\displaystyle {\int }_0^p}\{f(t)-g(t)\}dt$

で定められる．

　ここで$S(p)<0$の場合は，借り入れの残高が正であることを意味し，$S(0)=0$であることを仮定する．このとき以下の問いに答えなさい．ただし答えが分数になる場合，すべて既約分数で解答すること．

(1)　現在から$t=10$までの支出計画を考える．$S(10)=0$になるように支出計画を決定すると，$a=\boxed{\text{タ}}$になる．またこのとき，貯蓄の残高が最大になるのは$t=\boxed{\text{チ}}$で，借り入れの残高が最大になるのは$t=\boxed{\text{ツ}}$である．

(2)　次にこの人は借り入れあるいは貯蓄の取り崩しが一切，許されないことを仮定する．現在から$t=10$までの支出計画を考え，$S(10)$が最小になるように支出計画を決定すると，$a=\boxed{\text{テ}}$になる．またこのとき$S(10)=\boxed{\text{ト}}$になる．

【３】(1)　異なる$n$個のものの中から順序を考えず$r$個のものを取り出し，$1$組にしたものの総数を${}_{n}C_r$で表すとする．次の等式が成り立つことを証明せよ．

${}_{n}C_r={}_{n-1}C_{r-1}+{}_{n-1}C_r$（ただし$1\leqq r\leqq n-1\text{，}n\geqq 2$）$\cdots \text{①}$

(2)　$\text{①}$を使って，二項定理

${(a+b)}^n={}_{n}C_0{a}^n+{}_{n}C_1{a}^{n-1}b$$+\cdots +{}_{n}C_k{a}^{n-k}{b}^k$$+{}_{n}C_{k+1}{a}^{n-k-1}{b}^{k+1}$$+\cdots +{}_{n}C_{n-1}a{b}^{n-1}+{}_{n}C_n{b}^n$

が成り立つことを数学的帰納法によって証明せよ．

(3)　$(1+x)+{(1+x)}^2+{(1+x)}^2+{(1+x)}^3$$+\cdots +{(1+x)}^n$における$x^r$の係数を求めよ．ただし，$x>0\text{，}r$は整数で$0\leqq r\leqq n$とする．