2012　立命館大　理系学部Ａ方式2月2日実施MathJax

$|m|<\boxed{\text{ア}}$ただし$|m|\ne \boxed{\text{イ}}\cdots \text{①}$

のときであり，このとき，$2$つの共有点と原点を頂点とする三角形の面積$S$は

$S=\boxed{\text{ウ}}$

と表される．また，$2$つの共有点を結ぶ線分の中点を$\mathrm{P}(\alpha ,\beta )$とすると

$\alpha =\boxed{\text{エ}}\text{，}\beta =\boxed{\text{オ}}$

である．$m$が$\text{①}$の範囲で変化するとき，点$\mathrm{P}$の軌跡は，方程式

$\boxed{\text{カ}}{x}^2+\boxed{\text{キ}}{y}^2+y=0$

で表される曲線の，$y\geqq 1$の部分と$y<\boxed{\text{ク}}$の部分である．

（注：$\boxed{\text{ウ}}\text{，}\boxed{\text{エ}}\text{，}\boxed{\text{オ}}$は$m$の式，他は数値を入れよ．）

$J=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)\text{，}E=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$

とする．$2$次の正方行列

$A=\left(\begin{array}{cc}\boxed{\text{ケ}}& \boxed{\text{コ}}\\ b& a\end{array}\right)$

は，$JA=AJ$を満たしている．また

$A^{-1}=\boxed{\text{サ}}J+\boxed{\text{シ}}E$

である．（注：$\boxed{\text{サ}}\text{，}\boxed{\text{シ}}$には行列を用いず，$a\text{，}b$を用いた式を記せ．）

(1)　$A^3=8E$となるのは

$a=\boxed{\text{ス}}\text{，}b=\boxed{\text{セ}}$

$a=\boxed{\text{ス}}\text{，}b=-\boxed{\text{セ}}$

$a=\boxed{\text{ソ}}\text{，}b=\boxed{\text{タ}}$

の場合である．（ただし，$\boxed{\text{セ}}$には正の数を記入せよ．）

(2)　$\mathrm{O}$を原点とする座標平面において，行列$A$の表す一次変換による点$\mathrm{P}(2,1)$の像を$\mathrm{Q}$で表し，$▵\mathrm{OPQ}$の面積を$S$とする．ただし，点$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$が一直線上にあるときは$S=0$とする．$S$を$a\text{，}b$を用いた式で表すと

$S=\boxed{\text{チ}}$

であり，$a^2+b^2=a$のとき，$S$のとりうる値の範囲は

$0\leqq S\leqq \boxed{\text{ツ}}$

である．

$I_{n,0}={\displaystyle {\int }_{\alpha }^{\beta }}{(x-\alpha )}^{n}dx\text{，}{I}_{n,n}={\displaystyle {\int }_{\alpha }^{\beta }}{(x-\beta )}^{n}dx\text{，}$

$I_{n,k}={\displaystyle {\int }_{\alpha }^{\beta }}{(x-\alpha )}^{n-k}{(x-\beta )}^{k}dx\text{（}k=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}n-1\text{）}$

で定義する．$I_{n,0}$と$I_{n,n}$を$n\text{，}\alpha \text{，}\beta$を用いて表すと，$I_{n,0}=\boxed{\text{テ}}\text{，}{I}_{n,n}=\boxed{\text{ト}}$となる．$k=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}n$のとき，$I_{n,k}$と$I_{n,k-1}$の関係を求めると，$I_{n,k}=\boxed{\text{ナ}}{I}_{n,k-1}$を得る．したがって，

$I_{n,k}=\boxed{\text{ニ}}{I}_{n,0}$

が成り立つ．ここで，

$H_{n,k}=\left|{\displaystyle \frac{I_{n,k}}{I_{n,0}}}\right|$

とする．$H_{n,k}$と$H_{n,k-1}$の関係を求めると

$H_{n,k}=\boxed{\text{ヌ}}{H}_{n,k-1}$

を得る．

　$m$を$0$以上の整数とする．整数$k$が，$1\leqq k\leqq 2m+1$を満たすとき，$H_{2m+1,k-1}<H_{2m+1,k}$となる$m$と$k$の条件は$k\geqq \boxed{\text{ネ}}\text{，}{H}_{2m+1,k-1}>H_{2m+1,k}$となる場合の条件は$k\leqq \boxed{\text{ノ}}$である．$m$を定数とみなして整数$l$を$0\leqq l\leqq 2m+1$の範囲で動かすとき，$H_{2m+1,l}$は，$l=\boxed{\text{ハ}}$または$l=\boxed{\text{ヒ}}$で最小になる．また，$H_{2m,l}$は，整数$l$を$0\leqq l\leqq 2m$の範囲で動かすとき，$l=\boxed{\text{フ}}$で最小になる．

$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の両方のクラブに所属する人は$3$人

$\mathrm{B}$と$\mathrm{C}$の両方のクラブに所属する人は$4$人

$\mathrm{A}$と$\mathrm{C}$の両方のクラブに所属する人は$4$人

$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$と$\mathrm{C}$のすべてのクラブに所属する人は$2$人

である．各クラブは部員の中からくじで代表者を$1$人決める．

(1)　$\mathrm{A}$のみに入っている人は$\boxed{\text{ヘ}}$人である．

(2)　$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$のいずれかに入っている人は$\boxed{\text{ホ}}$人である．

(3)　$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$の代表者を決めた結果，$1$人が$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の代表者を兼ねる確率は$\boxed{\text{マ}}$である．

(4)　$1$人が$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$すべての代表者を兼ねる確率は$\boxed{\text{ミ}}$である．

(5)　$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$の代表者がすべて異なる人になる選び方は$\boxed{\text{ム}}$通りある．

(6)　$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$の代表者がすべて異なる人になる確率は$\boxed{\text{メ}}$である．

(7)　$3$つのクラブ$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$に所属する全員の中で，代表者に選ばれる人数の期待値は$\boxed{\text{モ}}$である．