2012　立命館大　文系学部Ａ方式2月3日実施MathJax

【１】

(1)　$a>0\text{，}b<a$とする．関数$y=||x|-a|\cdots \text{①}$と$y={\displaystyle \frac{1}{2}}x+b\cdots \text{②}$のグラフを考える．$\text{①}\text{，}\text{②}$のグラフが交点を持ち，その交点の数が$2$つになるための$a\text{，}b$の条件は

$\boxed{\text{ア}}<b<\boxed{\text{イ}}$である．

　このとき$2$つの交点を$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$とし，それぞれの$x$座標を$\alpha \text{，}\beta$（ただし，$\alpha <\beta$）とすると

$\beta -\alpha =\boxed{\text{ウ}}a+\boxed{\text{エ}}b$であり，

$\text{①}$と$\text{②}$で囲まれた部分の図形の面積を$a\text{，}b$を用いて表すと$\boxed{\text{オ}}$となる．

【１】

(2)　$a>0$とするとき，

方程式$\{{({\log }_{2}a)}^2-4\}{x}^2-2({\log }_{2}a+2)x-1=0\cdots \text{①}$

が，$x$に関する$2$次方程式であるための条件は，$a\ne \boxed{\text{カ}}\text{，}\boxed{\text{キ}}\text{（}\boxed{\text{カ}}<\boxed{\text{キ}}\text{）}$である．

　$a\ne \boxed{\text{カ}}\text{，}\boxed{\text{キ}}$のとき，$x$に関する$2$次方程式$\text{①}$が異なる$2$つの実数解をもつような定数$a$の値の範囲は，

$\boxed{\text{ク}}<a<\boxed{\text{ケ}}\text{，}\boxed{\text{コ}}<a<\boxed{\text{サ}}\text{，}\boxed{\text{シ}}<a$である．

【１】

(3)　ある学科の$1$年生の学生数は$198$人で，そのうち男子学生は$137$人である．ある調査の結果，$1$年生のうちスマートフォンを持っている学生は$148$人，タブレットPCをもっている学生は$123$人であった．このときスマートフォンを持っている男子学生は少なくとも$\boxed{\text{ス}}$人いて，タブレットPCを持っている男子学生は少なくとも$\boxed{\text{セ}}$人いる．

　また，スマートフォンを持っている女子学生は少なくとも$\boxed{\text{ソ}}$人であり，スマートフォンもタブレットPCも両方持っている男子学生は少なくとも$\boxed{\text{タ}}$人いる．

【２】　ある企業は製品を生産する$2$つの工場を持っており，どちらか一方の工場だけで生産を行う．生産量$q$に対して，第$1$工場での総生産費用は${\displaystyle \frac{5q^2}{2}}\text{，}$第$2$工場での総生産費用は${\displaystyle \frac{3q^2}{2}}+7$である．どちらの工場で生産した製品も単価$p\text{（}p>0\text{）}$で売ることができる．

　よって，この企業では，第$1$工場で生産をしたときの利益は，$pq-{\displaystyle \frac{5q^2}{2}}\text{，}$第$2$工場で生産をしたときの利益は，$pq-{\displaystyle \frac{3q^2}{2}}-7$となる．

　この企業は利益が最大となるように生産量を選択するとき，単価が$p>\boxed{\text{チ}}$ならば，第$\boxed{\text{ツ}}$工場で生産を行い，そのときの生産量は$\boxed{\text{テ}}$である．単価が$p<\boxed{\text{チ}}$ならば，もうひとつの工場で生産を行い，このときの生産量は$\boxed{\text{ト}}$である．

【３】　$a\text{，}b\text{，}c$を定数とする$2$つの$2$次関数

$y=a{x}^2+bx+c\cdots \text{①}$

$y=c{x}^2+bx+a\cdots \text{②}$

があって，これらの放物線は第$1$象限の点$\mathrm{A}$および第$3$象限の点$\mathrm{B}$で交わっている．さらに，原点$\mathrm{O}$は，$2$つの放物線で囲まれた図形$D$に含まれる．

(1)　上記の条件から，$3$つの定数$a\text{，}b\text{，}c$の符号に関して結論づけることができるものを，次の選択肢$\text{①}$から$\text{⑥}$の中から，$1$つだけ選び，その番号で答えよ．また，その番号を選んだ理由を述べよ．

[選択肢]

$\text{①}$　$1$個は正であるが，あとの$2$個についてはいろいろな場合がありうる．

$\text{②}$　正のものが$2$個，負のものが$1$個である．

$\text{③}$　正のものが$1$個，$0$のものが$1$個，負のものが$1$個である．

$\text{④}$　正のものが$1$個，負のものが$2$個である．

$\text{⑤}$　$1$個は負であるが，あとの$2$個についてはいろいろな場合がありうる．

$\text{⑥}$　いろいろな場合があって，正か負かは決定できない．

(2)　図形$D$の面積$S_1$を，$a$と$c$を使って表せ．

(3)　$ac=-1\text{，}b=1$のとき，$\text{①}\text{，}\text{②}$の放物線の頂点をそれぞれ$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$とする．点$\mathrm{P}$または点$\mathrm{Q}$を通り，$x$軸，$y$軸に平行な直線で囲まれる長方形の面積を$S_2$とする．

　$S_2$の最小値を求めよ．また，この時の$a\text{，}c$の値を求めよ．