2012　立命館大　文系学部Ａ方式2月7日実施MathJax

【１】

(1)　$x={\displaystyle \frac{\sqrt{13}+1}{2}}$のとき，$x^2-x=\boxed{\text{ア}}\text{，}{x}^3-4x=\boxed{\text{イ}}\text{，}{x}^4-7x=\boxed{\text{ウ}}$である．

【１】

(2)　$1$個のさいころを$2$回投げて，$1$回目に出た目を$a\text{，}2$回目に出た目を$b$とする．

　$2$つの放物線$y=a{x}^2+bx+2\text{，}y=2x^2+ax+b$が異なる$2$つの共有点をもつための条件は，$a\ne \boxed{\text{エ}}\text{，}$かつ，$a+b=\boxed{\text{オ}}$である．

　したがって，$2$つの放物線$y=a{x}^2+bx+2\text{，}y=2x^2+ax+b$が異なる$2$つの共有点をもつ確率は$\boxed{\text{カ}}$である．

　さらに，もう$1$回さいころを投げて，$3$回目に出た目を$c$とする．

　円${(x-a)}^2+{(y-b)}^2=c^2$と直線$y=x$が共有点をもたない条件は，

$|a-b|>\boxed{\text{キ}}c$であり，

　これを満たす$c$の値は

$c=\boxed{\text{ク}}\text{，}\boxed{\text{ケ}}\text{，}\boxed{\text{コ}}\text{（}\boxed{\text{ク}}<\boxed{\text{ケ}}<\boxed{\text{コ}}\text{）}$である．

　したがって，円${(x-a)}^2+{(y-b)}^2=c^2$と直線$y=x$が共有点をもたない確率は$\boxed{\text{サ}}$である．

【１】

(3)　関数$f(x)=8^x-4^{x+1}+2^{x+2}+1$について，$2^x=t$とおくと，$f(x)$は$t$を用いて，$f(x)=\boxed{\text{シ}}$と表せる．

　また，$-3\leqq x\leqq 1$の範囲において，$x=\boxed{\text{ス}}-{\log }_2\boxed{\text{セ}}$のとき，$f(x)$は最大値$\boxed{\text{ソ}}$をとる．

【２】　商品$\mathrm{S}$の現在の価格は$1000$円であり，$1$年ごとに$10\mathrm{\%}$の価格上昇，または価格下落をする．ここでは，商品$\mathrm{S}$の価格は今後$3$年間，下落を続けるか上昇を続ける場合しか起こらないとする．

　商品$\mathrm{S}$の価格は，$3$年間下落を続けると$\boxed{\text{タ}}$円，$3$年間上昇を続けると$\boxed{\text{チ}}$円になる．

　現在，$1000$円を持っているナデシコさんは，このお金でこの商品$\mathrm{S}$を購入するか，年利率$2\mathrm{\%}$の複利で銀行に預金するかを検討している．銀行に年利率$2\mathrm{\%}$の複利で$1000$円を預金すると，$3$年後には$\boxed{\text{ツ}}$円になる．（$\boxed{\text{ツ}}$は小数第$1$位を四捨五入して整数で解答すること．）

　いま，商品$\mathrm{S}$の$3$年後の価格が$\boxed{\text{チ}}$になる確率を$p$とすると，$3$年後における商品$\mathrm{S}$の価格の期待値は

$\boxed{\text{テ}}p+\boxed{\text{ト}}$

である．この$3$年後における商品$\mathrm{S}$の価格の期待値が，$\boxed{\text{ツ}}$と同じ金額になるのは$p=\boxed{\text{ナ}}$のときである．（$\boxed{\text{ナ}}$は小数第$3$位を四捨五入して小数第$2$位まで解答すること．）

　次に，$p=\boxed{\text{ナ}}$と設定し，商品$\mathrm{S}$の価格に連動して価格が決まる商品$\mathrm{C}$を考えよう．商品$\mathrm{C}$の$3$年後の価格は，商品$\mathrm{S}$の$3$年後の価格が$\boxed{\text{タ}}$円の時は$0$円，$\boxed{\text{チ}}$円の時は$331$円になる．$3$年後における商品$\mathrm{C}$の価格の期待値は$\boxed{\text{ニ}}$円である．ただし，価格の期待値は整数になるとは限らない．

　ナデシコさんが銀行に預金して，$3$年後の残高が$\boxed{\text{ニ}}$円以上になるためには，現在において少なくとも$\boxed{\text{ヌ}}$円を銀行に預けておく必要がある．（$\boxed{\text{ヌ}}$は整数で解答すること．）

【３】　次のルールにもとづいて変化していく樹木のような図形$T_n$がある．

　図$\text{③}$のような長さが$a_0$である線分からなるY字型の図形$P_0$から出発し，$P_1$を付け加えたものを図形$T_1\text{，}$また図形$T_1$に$P_2$を付け加えたものを図形$T_2$とする．この操作を$n$回行った図形を$T_n$とする．ここで，図形$T_1$とその横幅$W_1\text{，}$高さ$H_1\text{，}$図形$T_2$とその横幅$W_2\text{，}$高さ$H_2$を図$\text{③}\text{，}$図$\text{⑤}$のように考える．図形$T_n$についても，その横幅$W_n\text{，}$高さ$H_n$を同様に考えることとする．

　このとき，$a_0=a$として以下の問いに答えよ．

(1)　図形$T_1$の高さ$$と横幅$W_1$を求めよ．

(2)　図形$T_n$に含まれているY字型の図形$P_0\text{，}{P}_1\text{，}\cdots \text{，}{P}_n$の総数を求めよ．

(3)　図形$T_n$に含まれる線分の長さの総和を求めよ．

(4)　図形$T_n$の高さ$H_n$と横幅$W_n$を求めよ．