2012 立命館大 理系学部A方式2月7日実施

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2012 立命館大学 理系学部A方式

2月7日実施

易□ 並□ 難□

【1】 座標平面において点 P (p ,q) が楕円

C:x2 +4 y2= 4

の外部にあるとする.ただし p ±2 とする.

 点 P (p ,q) を通る傾き m の直線 l の方程式は

y=

と表される.直線 l と楕円 C の共有点の x 座標は, 2 次方程式

(1+ 4m 2) x2+ x+ = 0

の解として与えられる.したがって,直線 l が楕円 C に接しているとき,傾き m 2 次方程式

(p2 -4) m2 + m+ =0

を満たす.

 点 P (p ,q) を通り楕円 C に接する 2 つの直線が直交しているとき, p q

p2- 4=

を満たし,点 P は曲線

x2+ =0

の上にある.

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【2】  a を正の実数とする.関数 f (x) =x3 -3a 2x は, x= において極小値 をとる. f( x)= f( x+1 ) を満たす実数 x が存在するための必要十分条件は a である. a のとき

f( x) f( x+1)

となる x の範囲は

x または x

である.

 数列 { bn } b n=f (n ) n=1 2 で定める.以下において, bk が最小値であるとは,すべての n について, bk bn が成り立つときをいう.

  b1 が最小値となるような a の範囲は, 0<a である.

 以下においては, k 2 以上の整数とし, a とする.このとき, k であるための a に関する必要十分条件を, k を用いて表すと, a である.

  a のとき, b2 が最小値となるための条件を求めると, a になる.

  bk が最小値となる a の範囲を, k を用いて表すと

a

である.

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【3】 座標平面上を運動する点 P の時刻 t における座標 (x ,y) が,

x=sin t y= 12 cos 2t

で表されているとする.このとき,点 P は曲線 y+ =0 上を動く.また,点 P の速度ベクトルは

v =( d xdt , d ydt ) =( , )

であり,加速度ベクトルは

a =( d2x dx 2 , d2y dt 2 )= ( , )

である.

 速さ | v | 0 になるとき,点 P は,点 Q ( , ) あるいは点 R ( , ) の位置にある.(ただし, > とする.) 0t 30 において,点 P は定点 Q 回通る.

  | v | の最大値は であり,加速度の大きさ | α | の最小値は である.

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【4】  a>0 とする.関数 f (x )

f( x)= xlog |x |+( a-x) log |a -x| x 0 かつ x a ),

f( 0)= f( a)= alog a

で定める.なお

limx 0 xlog |x |= 0

であるので x= 0 x= a を含む全ての実数 x において, f( x) は連続である.ただし log x x の自然対数を表し,その底を e とする.

(1)  x0 かつ x a のとき, f (x) = f (x) = である.また, limx f ( x)= である.

(2)  f( x) x= において極値 m をとり, a を用いて m を表すと, m= である. m は, a= において最小値 をとる.

(3)  p>a とする.曲線 y= f( x) 上の点 (p ,f( p) ) における接線が原点を通るとき, p= であり, f ( p)= である. k0 とするとき,直線 y = x+k が曲線 y =f( x) の接線であるならば,接点の x 座標は である.