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2012 立命館大学 情報理工学部

2月8日実施

易□ 並□ 難□

【1】 白玉 3 個と赤玉 2 個と黒玉 1 個が入っている箱がある.

(1) 箱から無作為に玉を 1 個取り出す試行を繰り返す.ただし,取り出した玉はその度に箱に戻すものとする.

(a)  1 回目の試行から 2 回連続して同じ色の玉が取り出される確率は である.

(b) 試行を 3 回繰り返したとき,少なくとも 1 回は白玉が取り出される確率は である.

(2) 箱から無作為に玉を 1 個取り出す試行を繰り返す.ただし,取り出した玉は箱に戻さないものとする.

(a)  1 回目の試行から 3 回連続して白玉が取り出される確率は である.

(b) 試行を 3 回繰り返したとき, 1 回目と 3 回目の玉の色が同じである確率は である.

(c) 次のようなゲームを考える.試行ごとに,赤玉か黒玉が出ると, 1,000 点が獲得でき,次の試行を行うことができる.一方,白玉が出るとこの時点でゲーム終了とする.

(ⅰ)  2 回目に初めて白玉が出る確率は である.

(ⅱ)  3 回目に初めて白玉が出る確率は である.

(ⅲ) このゲームで獲得できる得点の期待値は 点である.

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2月8日実施

易□ 並□ 難□

【2】  a+b= 1 および a d-b c=-1 を満たす実数 a b c d に対し,行列 A =( ab cd ) とする.また, E 2 次の単位行列とする.

(注:   にはすべて n を用いた式,または数値を記せ.)

A2= A+ E

であり,任意の実数 k に対して A kE である.

 自然数 n に対して,実数 α n βn を用いて

An= αn A+β nE

とおくと

An+ 1= ( αn+ βn) A+ ( α n+ βn )E

となるので, αn+ 1= αn+ βn βn+ 1= αn+ βn である.ここで, α1 =1 および β1= 0 である.

これらより

αn+ 2= αn+ 1+ αn

である.

 数列 { an } の一般項を求めてみよう. y+z= yz= を満たす実数 y z を用いて

αn+ 2-y α n+1 =z( αn+ 1-y αn )

とおける.ここで, yz とすると y= z= である.

  γn= αn+ 1-y αn とおくと γ n+1 =z γn および γ 1= である.数列 { γn } の一般項を求めれば γn= αn+ 1-y αn = である.一方, αn +2- zα n+1 =y (α n+1 -z αn ) も成り立つので,同様にして αn+ 1-z αn = である.これらより αn= である.

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【3】 三角形 OAB において,ベクトル a = OA b =OB とおく. t 0< t<1 を満たす実数とし,辺 OA t :(1 -t) に内分する点を P OB ( 1-t) :t に内分する点を Q AB t :(1 -t) に内分する点を R とする.

(1)  OR および PQ を, t a b を用いて表すと

OR =( ) a +( ) b

PQ =( ) a +( ) b

である.

(2) 線分 PQ を延長した直線 l 1 と辺 AB を延長した直線 l 2 が交わるための t に関する必要十分条件は である. 2 つの直線 l 1 l 2 が交わるとき,この交点を S とする. OS t a b を用いて表すと

OS =( ) a +( ) b

である.

(3)  2 つの線分 OR PQ が直交するとき, t | a | | b | a b の内積 a b の間には,次の関係式が成り立つ.

( ) t2 +( ) t+ ( ) =0

 また,条件を満たす任意の t について線分 OR OQ が直交するためには, AOB= π かつ | a | | b | = でなければならない.

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【4】 座標平面上の曲線 C: y=x3 -x を考える.

(1) 関数 y= x3- x は, x= のとき極大値 y= をとり,曲線 C の変曲点の座標は である.

(2) 曲線 C 上に, 2 P 1( t,t3 -t) P 2( -t,- t3+ t) t>0 をとる. 2 P1 P 2 を通る直線を l とするとき, l の方程式は である.

 曲線 C の接線のうち, l に平行な接線と C との接点の座標は Q 1 Q 2 である.ただし Q 1 x 座標は Q 2 x 座標より大きいものとする.

 このとき,四辺形 P 1Q 2P 2Q 1 の面積を S 1 とすると

S1= である.

(3) 曲線 C と直線 l で囲まれた図形の面積を S 2 とすると

S2= である.

(4) このとき, S 1S2 = となり, S1 S 2 の比は常に一定である.

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