2012 関西大 理系学部2月1日実施

Mathematics

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2012 関西大学 システム理工学部・環境都市工学部・化学生命工学部

2月1日実施

3教科型(理科1科目選択方式)

易□ 並□ 難□

【1】  x の関数 f (x) = logx x2 に対して,次の問いに答えよ.

(1)  f( x) の導関数 f ( x) を求め, f( x) の極値を求めよ.

(2)  f( x) の第 2 次導関数 f ( x) を求め,さらに f ( x)= 0 を満たす x の値を求めよ.

(3)  x>0 において, 2x -log x>0 を示せ.

(4)  limx log xx 2 を求めよ.

(5)  limα 1α f( x) dx= 1c f (x) dx を満たす正の定数 c を求めよ.

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3教科型(理科1科目選択方式)

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【2】  a を実数の定数とし,曲線 x 2+4 y2 -2x -3=0 C 1 とし,円 ( x-a) 2+ y2=4 C 2 とする.次の   をうめよ.

(1) 曲線 C 1 は楕円 x2 + y2 =1 x 軸方向に だけ平行移動した楕円を表す.

(2) 曲線 C 1 と円 C 2 が共有点をもつような a の値の範囲は である.

(3)  a=0 のとき, C1 C 2 の共有点は 2 点あり,そのうち y 座標が正である点を P とする.点 P x 座標の値は -1+2 3 である.また,点 P における C 1 の接線が x 軸と交わる点の x 座標の値は 3 + であり,点 P における C 2 の接線が x 軸と交わる点の x 座標の値は 810 + 13 である.

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【3】  A=( a- bb a ) b 0 が表す 1 次変換を f とする.点 P (c ,0) c>0 を考える.次の問いに答えよ.

(1) 次の から を数値でうめよ.

 点 Q (3 ,4) を,点 R (1 ,2) を中心として反時計まわりに π3 だけ回転した点の座標は

( cos π3 -sin π 3 sin π3 cos π3 ) ( 3- 4- )+ ( )

を計算することにより ( , ) である.

(2)  B=( cos π3 -sin π3 sin π3 cos π3 ) V=( c0 ) -A ( c0 ) O= (0 0 ) とおく.

 点 P を,点 f (P ) を中心として反時計まわりに π3 だけ回転した点が ( ff ) (P ) と一致するという条件を A B V O を用いて表すと, ( ) V=O と表すことができる. A B を用いて をうめよ.

(3)  3 P f( P) (f f) ( P) が正三角形の 3 つの頂点をなすとき, a b の値を求めよ.

(4) (3)の正三角形の 1 辺の長さが 1 になるとき, c の値を求めよ.

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【4】 次の   をうめよ.

(1)  limx - (x 2+3 x+x ) の値は である.

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【4】 次の   をうめよ.

(2)  k=1 n kC k n を計算すると となる.

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【4】 次の   をうめよ.

(3) 座標空間の原点を O とし, t を実数とする.どのような t の値に対しても,点 P ( cost , -1+sin t2 , 1 +sint 2 ) は原点を中心とする半径 の球面上にある.また,実数 s に対して,点 Q ( 0,s, -s) とするとき, OQ QP = 0 となるような s の値は s =0 s = である.

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【4】 次の   をうめよ.

(4) 媒介変数表示

x=3 t+1 +3- t+1 +1 y= 3t- 3-t

で表される図形は, x y についての方程式 =1 で定まる双曲線 C x >0 の部分である.また, C の漸近線で傾きが正の漸近線の方程式は y = である.

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【4】 次の   をうめよ.

(5)  θ の関数 sin θsin (θ + π3 ) sin (θ - π3 ) は,定数 a b を用いて a sin2 θ+b sinθ と表すことができる. a b の組 ( a,b ) である.

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【4】 次の   をうめよ.

(6) 無限級数の和として定義される関数

f( x)= x2+ x 21+ 2x 2 + x2 (1 +2 x2) 2 ++ x 2( 1+2 x2 )n +

について, limx 0 f( x) の値は である.