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2012-14991-0101
2012 関西大学 システム理工学部・環境都市工学部・化学生命工学部
2月1日実施
3教科型(理科1科目選択方式)
易□ 並□ 難□
【1】 x の関数 f⁡ (x) = log⁡x x2 に対して,次の問いに答えよ.
(1) f⁡( x) の導関数 f ′⁡( x) を求め, f⁡( x) の極値を求めよ.
(2) f⁡( x) の第 2 次導関数 f ″⁡( x) を求め,さらに f ″⁡( x)= 0 を満たす x の値を求めよ.
(3) x>0 において, 2⁢x -log⁡ x>0 を示せ.
(4) limx→∞ ⁡ log ⁡xx 2 を求めよ.
(5) limα→ ∞⁡ ∫ 1α⁡ f⁡( x)⁢ dx= ∫1c ⁡f⁡ (x) ⁢dx を満たす正の定数 c を求めよ.
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【2】 a を実数の定数とし,曲線 x 2+4 ⁢y2 -2⁢x -3=0 を C 1 とし,円 ( x-a) 2+ y2=4 を C 2 とする.次の をうめよ.
(1) 曲線 C 1 は楕円 x2 ① + y2 ② =1 を x 軸方向に ③ だけ平行移動した楕円を表す.
(2) 曲線 C 1 と円 C 2 が共有点をもつような a の値の範囲は ④ である.
(3) a=0 のとき, C1 と C 2 の共有点は 2 点あり,そのうち y 座標が正である点を P とする.点 P の x 座標の値は -1+2 ⁢ ⑤ 3 である.また,点 P における C 1 の接線が x 軸と交わる点の x 座標の値は 3 + ⑥ であり,点 P における C 2 の接線が x 軸と交わる点の x 座標の値は 8⁢10 + ⑦ 13 である.
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【3】 A=( a- bb a )( b≠ 0 ) が表す 1 次変換を f とする.点 P (c ,0) ( c>0 ) を考える.次の問いに答えよ.
(1) 次の ① から ④ を数値でうめよ.
点 Q (3 ,4) を,点 R (1 ,2) を中心として反時計まわりに π3 だけ回転した点の座標は
( cos⁡ π3 -sin⁡ π 3 sin⁡ π3 cos⁡ π3 )⁢ ( 3- ① 4- ② )+ ( ① ② )
を計算することにより ( ③ , ④ ) である.
(2) B=( cos⁡ π3 -sin⁡ π3 sin ⁡ π3 cos⁡ π3 ), V=( c0 ) -A⁢ ( c0 ) ,O= (0 0 ) とおく.
点 P を,点 f⁡ (P ) を中心として反時計まわりに π3 だけ回転した点が ( f∘f )⁡ (P ) と一致するという条件を A , B ,V , O を用いて表すと, ( ⑤ )⁢ V=O と表すことができる. A と B を用いて ⑤ をうめよ.
(3) 3 点 P , f⁡( P) ,(f ∘f) ⁡( P) が正三角形の 3 つの頂点をなすとき, a ,b の値を求めよ.
(4) (3)の正三角形の 1 辺の長さが 1 になるとき, c の値を求めよ.
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【4】 次の をうめよ.
(1) limx→ -∞⁡ (x 2+3 ⁢x+x ) の値は ① である.
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(2) ∑ k=1 n⁡ k⁢C k n を計算すると ② となる.
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(3) 座標空間の原点を O とし, t を実数とする.どのような t の値に対しても,点 P ( cos⁡t , -1+sin ⁡t2 , 1 +sin⁡t 2 ) は原点を中心とする半径 ③ の球面上にある.また,実数 s に対して,点 Q ( 0,s, -s) とするとき, OQ→ ⋅QP →= 0 となるような s の値は s =0 と s = ④ である.
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(4) 媒介変数表示
x=3 t+1 +3- t+1 +1 ,y= 3t- 3-t
で表される図形は, x ,y についての方程式 ⑤ =1 で定まる双曲線 C の x >0 の部分である.また, C の漸近線で傾きが正の漸近線の方程式は y = ⑥ である.
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(5) θ の関数 sin⁡ θ⁢sin⁡ (θ + π3 ) ⁢sin⁡ (θ - π3 ) は,定数 a , b を用いて a ⁢sin2 ⁡θ+b ⁢sin⁡θ と表すことができる. a ,b の組 ( a,b ) は ⑦ である.
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(6) 無限級数の和として定義される関数
f⁡( x)= x2+ x 21+ 2⁢x 2 + x2 (1 +2⁢ x2) 2 +⋯+ x 2( 1+2⁢ x2 )n +⋯
について, limx→ 0⁡ f⁡( x) の値は ⑧ である.