2012　関西大　理系学部2月5日実施MathJax

(1)　$k$のとりうる値の範囲を求めよ．

(2)　$C$の$1$つの焦点$(0,\sqrt{2})$と$l$との距離と，もう$1$つの焦点$(0,-\sqrt{2})$と$l$との距離の和を$L$とするとき，$L$を$k$の式で表し，そのグラフを解答欄の座標平面上にかけ．また，$k$が変化するとき，$L$のとりうる値の範囲を求めよ．

(3)　$k$が最大値をとるとき，$x\geqq 0$かつ$y\geqq 0$の部分で$C$と$l$と$x$軸で囲まれる図形を$D$とする．$D$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を求めよ．

$a_1=0\text{，}{b}_1=1$

$a_{n+1}={\displaystyle \frac{1}{2}}{a}_n+{\displaystyle \frac{1}{2}}{b}_n\text{，}{b}_{n+1}={\displaystyle \frac{1}{4}}{a}_n+{\displaystyle \frac{3}{4}}{b}_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

によって定められている．このとき，次の$\boxed{}$をうめよ．

(1)　$a_3=\boxed{\text{①}}\text{，}{b}_3=\boxed{\text{②}}$である．

(2)　$b_{n+1}-a_{n+1}=\boxed{\text{③}}(b_n-a_n)$が成り立つから，$b_n-a_n$は$n$を用いて$b_n-a_n=\boxed{\text{④}}$と表される．

(3)　数列$\{a_n\}$の一般項$a_n$は，$n$を用いて$a_n=\boxed{\text{⑤}}$と表される．

(4)　$n$を用いて表すと，

${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{4}^{k-1}{a}_k=\boxed{\text{⑥}}\text{，}$

${\displaystyle \sum _{k=1}^n}k(b_k-a_k)={\displaystyle \frac{4}{9}}\{\boxed{\text{⑦}}\}$

である．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\perp \overrightarrow{\mathrm{OB}}$であるような$t$の値は$2$つあり，その値は$\boxed{\text{①}}\text{，}\boxed{\text{②}}$である．ただし，$\boxed{\text{①}}<\boxed{\text{②}}$とする．

(2)　$▵\mathrm{ABC}$の面積は，$t=\boxed{\text{③}}$のとき，最小値$\boxed{\text{④}}$をとる．

(3)　$M^2+M+E$が零行列であるとする．ただし，$E=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$である．

(ⅰ)　$t=\boxed{\text{⑤}}$であり，$M^3=\boxed{\text{⑥}}\text{，}{M}^{2012}=\boxed{\text{⑦}}$である．

(ⅱ)　$M^{2012}$で表される$1$次変換を$g$とする．座標平面上の点$\mathrm{P}$が$g$の逆変換によって移される点を$\mathrm{Q}\text{，}$点$\mathrm{C}$を原点のまわりに$-60\mathrm{°}$だけ回転して移される点を$\mathrm{R}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\overrightarrow{\mathrm{OR}}$であるとき，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を成分で表すと$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\boxed{\text{⑧}}$である．

　$2$次方程式$f(x)=0$が異なる$2$つの実数解をもち，その$2$つの差が$2$以下となるような$a$の値の範囲は$\boxed{\text{⑤}}$である．

　また，$0\leqq x\leqq 2$における関数$f(x)$の最小値を$m(a)$とするとき，$m(a)=2$であるような$a$の値は$\boxed{\text{⑥}}$である．