2012　関西大　文系学部2月4日実施MathJax

【１】　$a$を正の定数とする．$2$つの放物線

$y=x^2-ax+1$

$y=-x^2+(a+4)x-3a+1$

がある．

(1)　$2$つの放物線は異なる$2$点で交わる．その$x$座標を$\alpha \text{，}\beta$とするとき，$\alpha +\beta$および$\alpha \beta$を$a$を用いて表せ．

(2)　$2$つの放物線で囲まれる部分の面積$S(a)$を$a$を用いて表せ．

(3)　$S(a)$の最小値とそのときの$a$の値を求めよ．

【２】　座標空間に$3$点$\mathrm{A}(0,2,0)\text{，}\mathrm{B}(1,0,1)\text{，}\mathrm{C}(0,1,1)$がある．次の$\boxed{}$をうめよ．

　$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$の内積$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}$は$\boxed{\text{①}}$であり，$\angle \mathrm{BAC}=\boxed{\text{②}}\mathrm{°}$である．$▵\mathrm{ABC}$の面積は$\boxed{\text{③}}$であり，$▵\mathrm{ABC}$の重心$\mathrm{G}$の座標は$\boxed{\text{④}}$である．

　点$\mathrm{D}$を$\mathrm{DG}\perp \mathrm{AB}\text{，}\mathrm{DG}\perp \mathrm{AC}$かつ$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$が四面体の頂点をなすようにとる．四面体$\mathrm{ABCD}$の体積が$1$になるとき，$\mathrm{DG}$の長さは$\boxed{\text{⑤}}$であり，$\mathrm{D}$の$x$座標が正となるときの$\mathrm{D}$の座標は$\boxed{\text{⑥}}$である．

【３】　$1$から$5$までの番号が$1$つずつ書かれた$5$枚の赤色のカードと，$1$から$5$までの番号が$1$つずつ書かれた$5$枚の白色のカードと，$1$から$5$までの番号が$1$つずつ書かれた$5$枚の青色のカードがある．これら$15$枚のカードをよくかきまぜた後，$3$枚のカードを取り出す．次の$\boxed{}$を数値でうめよ．

(1)　$3$枚とも赤色のカードである確率は$\boxed{\text{①}}$である．

(2)　赤色，白色，青色のカードが$1$枚ずつある確率は$\boxed{\text{②}}$である．

(3)　赤色，白色，青色のカードが$1$枚ずつであり，かつ$3$枚のカードの数字が異なっている確率は$\boxed{\text{③}}$である．

(4)　$3$枚のカードの数字の積が$5$の倍数である確率は$\boxed{\text{④}}$である．

(5)　$3$枚のカードの数字の積が$9$の倍数である確率は$\boxed{\text{⑤}}$である．