2012　関西大　文系学部2月2日実施MathJax

【１】　$x$と$y$についての連立方程式

$\{\begin{array}{l}{3}^{x+2y}+2^{4x+2y-3}={\displaystyle \frac{97}{3}}\\ 3^{x+2y+2}-4^{2x+y-2}=-13\end{array}\cdots$(＊)

を考える．次の問いに答えよ．

(1)　$X=3^{x+2y}\text{，}Y=2^{4x+2y}$とおいて，連立方程式(＊)を$X\text{，}Y$についての連立$1$次方程式に書きかえて，それを解いて$X$と$Y$の値を求めよ．

(2)　連立方程式(＊)を解け．

【２】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(1)　$y=||x-2|+2x-3|$のとき，$y$を絶対値を用いずに$x$で表すと

$\begin{array}{lll}x\leqq \boxed{\text{①}}& \text{のとき}& y=\boxed{\text{②}}\\ \boxed{\text{①}}<x\leqq \boxed{\text{③}}& \text{のとき}& y=\boxed{\text{④}}\\ \boxed{\text{③}}<x& \text{のとき}& y=\boxed{\text{⑤}}\end{array}$

となる．

(2)　$y=||x-2|+2x-3|$のグラフと直線$y=4$とは$x=\boxed{\text{⑥}}$および$x=\boxed{\text{⑦}}$（ただし，$\boxed{\text{⑥}}<\boxed{\text{⑦}}$とする）で交わる．また，$y=||x-2|+2x-3|$のグラフと直線$y=4$とで囲まれた図形の面積は$\boxed{\text{⑧}}$である．

【３】　次の$\boxed{}$を数値でうめよ．

　放物線$y=a{x}^2+bx+c$の頂点の$x$座標は${\displaystyle \frac{11}{12}}$であり，この放物線は$x$座標が$1$の点で直線$y={\displaystyle \frac{x}{3}}+1$に接している．このとき，$a=\boxed{\text{①}}\text{，}$$b=\boxed{\text{②}}\text{，}$$c=\boxed{\text{③}}$である．この$a\text{，}b\text{，}c$に対し，$f(x)$を

$f(x)=\{\begin{array}{ll}a{x}^2+bx+c& x\leqq 1\\ {\displaystyle \frac{x}{3}}+1& x>1\end{array}$

と定め

$F(t)={\displaystyle {\int }_t^{t+1}}f(x)dx$

とおく．このとき，$F(t)$は$0\leqq t\leqq 1$である$t$に対し

$F(t)=\boxed{\text{④}}{t}^3+\boxed{\text{⑤}}{t}^2-\boxed{\text{⑥}}t+{\displaystyle \frac{11}{6}}$

と表される．$t$が$0\leqq t\leqq 1$の範囲を動くとき，$F(t)$の値が最小になるのは$t=\boxed{\text{⑦}}$のときである．