2012　関西大　全学部・センター理系2月7日実施MathJax

(1)　$f(x)$の極値を求めよ．

(2)　$a$を正の定数とする．曲線$y=f(x)$上の点$(a,f(a))$における接線と，点$(-a,f(-a))$における接線が垂直に交わるとき，$a$の値を求めよ．

(3)　定積分${\displaystyle {\int }_0^1}x{e}^{-2x}dx$を求めよ．

(4)　曲線$y=f(x)\text{，}x$軸，および直線$x=1$で囲まれた図形の面積を求めよ．

　$2$つの定点$\mathrm{A}(-1,0)\text{，}\mathrm{B}(1,0)$と，曲線$C$上を動く点$\mathrm{P}(p,q)$を考える．$▵\mathrm{APB}$の重心を$\mathrm{G}$とするとき，$\mathrm{G}$の座標は$p\text{，}q$を用いて$\boxed{\text{①}}$と表すことができる．ただし，$\mathrm{P}(3,0)$と$\mathrm{P}(-3,0)$のときの$\mathrm{G}$の座標は，それぞれ$\mathrm{G}(1,0)$と$\mathrm{G}(-1,0)$とする．$\mathrm{P}$が曲線$C$全体を動くとき，$\mathrm{G}$の描く曲線$C^{\prime }$を$xy$座標平面上に図示すると$\boxed{\text{②}}$である．

　$C^{\prime }$上の点$\mathrm{Q}(a,b)$における曲線$C^{\prime }$の接線$l$の方程式は$\boxed{\text{③}}=1$である．接点$\mathrm{Q}(a,b)$が第$1$象限にあるとき，$l$と$x$軸と$y$軸で囲まれた三角形の面積を$S_1$とする．第$1$象限において$\mathrm{Q}$が曲線$C^{\prime }$上を動くとき，$S_1$の最小値は$\boxed{\text{④}}$であり，このときの$\mathrm{Q}$の座標は$\boxed{\text{⑤}}$である．

　曲線$C^{\prime }$と$x$軸の$x\geqq 0$である部分と$y$軸の$y\geqq 0$である部分で囲まれた図形の面積$S_2$は$\boxed{\text{⑥}}$であり，第$1$象限において$\mathrm{Q}(a,b)$が曲線$C^{\prime }$上を動くとき，$S_1=2S_2$となるのは$a^2={\displaystyle \frac{\pi \pm \boxed{\text{⑦}}}{2\pi }}$のときである．さらに$a$の値を，$2$重根号をはずして求めると$a={\displaystyle \frac{\boxed{\text{⑧}}}{2\sqrt{\pi }}}$となる．

(1)　${f_n}^{\prime }(0)$の値を$n$を用いて表せ．

(2)　$-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}<x<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の範囲で，${f_n}^{\prime }(x)=0$となる$x$に対して，$\sin x$の値を求めよ．

(3)　曲線$y=f_n(x)$と$x$軸および$2$つの直線$x=0$と$x={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$によって囲まれる図形を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を$V_n$とする．$V_n$の値および$\underset{N\to \infty }{\lim }{\displaystyle \sum _{n=1}^N}{\displaystyle \frac{V_n}{n}}$の値を求めよ．

$a_1=2\text{，}{a}_{n+1}={\displaystyle \frac{a_n}{a_n+5}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

　この数列$\{a_n\}$の一般項は$a_n=\boxed{\text{④}}$である．