2012　関西大　後期　理系学部3月4日実施MathJax

【１】次の$\boxed{}$をうめよ．

(1)　点$\mathrm{P}(-1,0)$を通り，傾きが$t$の直線を$l$とする．円$x^2+y^2=1$と$l$の共有点で，$\mathrm{P}$と異なるものを$\mathrm{Q}$とする．$\mathrm{Q}$の座標を$t$を用いて表すと，$(\boxed{\text{①}},\boxed{\text{②}})$である．

(2)　$f(t)=\boxed{\text{①}}\text{，}g(t)=\boxed{\text{②}}$とおく．${f(t)}^2+{g(t)}^2=1$に$t={\displaystyle \frac{b}{a}}$を代入し，両辺に$c^2$をかけて計算すると，

${\{c(a^2-b^2)\}}^2+{(\boxed{\text{③}})}^2={\{c(a^2+b^2)\}}^2$

となる．$a\text{，}b\text{，}c$を正の整数として，この式を用いることにより，$m^2+n^2={51}^2$となる正の整数$m\text{，}n$で，$m>n$となるものを求めると，$m=\boxed{\text{④}}\text{，}n=\boxed{\text{⑤}}$である．

(3)　$f(t)\text{，}g(t)$を(2)で定めたものとする．$f(t)g(t)$は$t=\boxed{\text{⑥}}$のとき最大値$\boxed{\text{⑦}}$をとる．

【２】次の$\boxed{}$を数値でうめよ．

　原点のまわりに$30\mathrm{°}$回転させる$1$次変換を$f$とする．$1$次変換$f$を表す行列は

$\left(\begin{array}{cc}\boxed{\text{①}}& -\boxed{\text{②}}\\ \boxed{\text{②}}& \boxed{\text{①}}\end{array}\right)$

である．楕円${\displaystyle \frac{x^2}{4}}+y^2=1$を$C_1$とする．$f$により，楕円$C_1$が曲線$C_2$に移り，$C_1$上の点$(x_1,y_1)$が$C_2$上の点$(x_2,y_2)$に移るとする．このとき，$x_1\text{，}{y}_1$をそれぞれ$x_2$と$y_2$を用いて表すと，

$\{\begin{array}{l}{x}_1=\boxed{\text{③}}{x}_2+\boxed{\text{④}}{y}_2\\ y_1=\boxed{\text{⑤}}{x}_2+\boxed{\text{⑥}}{y}_2\end{array}$

となる．$(x_1,y_1)$が楕円$C_1$上にあることを用いて，曲線$C_2$の$x\text{，}y$についての方程式を求めると

$7x^2+\boxed{\text{⑦}}{y}^2-\boxed{\text{⑧}}xy=16$

となる．曲線$C_2$上の点$\mathrm{P}(x_3,y_3)$における接線が$x$軸と平行になるとする．ただし，$x_3>0\text{，}{y}_3>0$とする．このとき，$x_3\text{，}{y}_3$の値はそれぞれ$x_3=\boxed{\text{⑨}}\text{，}{y}_3=\boxed{\text{⑩}}$である．

【３】次の$\boxed{}$をうめよ．

　$y=x^{-\log x}$の両辺の対数をとって$x$で微分すると，$y^{\prime }=x^{-\log x-1}\cdot (\boxed{\text{①}})$である．さらに，$x^{-\log x-1}$の導関数は$x^{-\log x-2}\cdot (\boxed{\text{②}})$である．

　曲線$y=x^{-\log x}$の変曲点の$x$座標を$a\text{，}b\text{（}a<b\text{）}$とする．このとき$a=\boxed{\text{③}}\text{，}b=\boxed{\text{④}}$である．${\displaystyle {\int }_a^b}{x}^{-\log x}{\displaystyle \frac{\log x}{x}}dx$を求めると$\boxed{\text{⑤}}$である．

【４】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(1)　$a_1=1\text{，}n{a}_{n+1}=2(n+1)a_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$で定められている数列$\{a_n\}$の一般項は$a_n=\boxed{\text{①}}$である．

【４】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(2)　媒介変数表示

$x=6{\cos }^2\theta +1\text{，}y=4\sin \theta \cos \theta$

で表される図形は，$x\text{，}y$についての方程式が$\boxed{\text{②}}=1$の楕円である．

【４】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(3)　${\displaystyle {\int }_{\log 2}^{\log 3}}{\displaystyle \frac{1}{e^x-e^{-x}}}dx$を求めると，${\displaystyle \frac{1}{2}}\log (\boxed{\text{③}})$である．

【４】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(4)　$1\text{，}2\text{，}3$と書かれたカードが$2$枚ずつある．この$6$枚をよくきって$3$人に$2$枚ずつ配るとき，$1$人だけが同じ数字のカードになる確率は$\boxed{\text{④}}$である．

【４】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(5)　正の整数$m\text{，}n$で$m^3=n^3+127$となるものを考える．$127$は素数だから，$m$と$n$を求めると$(m,n)=\boxed{\text{⑤}}$である．

【４】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(6)　負でない整数全体の集合を$\mathrm{X}$とし，$\mathrm{X}$の部分集合$\mathrm{A}=\{3m+5n|m\text{，}n\in \mathrm{X}\}$

を考える．$\mathrm{A}$の要素で小さいものから数えて$7$番目の数は$\boxed{\text{⑥}}$である．$\mathrm{X}$における$\mathrm{A}$の補集合$\bar{\mathrm{A}}$の要素をすべてあげると$\boxed{\text{⑦}}$である．