2012　関西学院大　文系学部全学日程2月1日実施MathJax

【１】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(1)　$xy$平面における放物線

$y=x^2-4x+1$

は放物線$y=x^2$を$x$軸方向に$\boxed{\text{ア}}\text{，}y$軸方向に$\boxed{\text{イ}}$だけ平行移動することによって得られる．

関数

$y=x^2-4x+1\text{（}a\leqq x\leqq a+1\text{）}$

の最小値を$m$とおく．ただし，$a$は実数である．$a<1$の場合は$m=\boxed{\text{ウ}}$であり，$1\leqq a\leqq 2$の場合は$m=\boxed{\text{エ}}$であり，$a>2$の場合は$m=\boxed{\text{オ}}$である．

【１】次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(2)　${(2x^2-xy-3y^2)}^5$の展開式における$x^5{y}^5$の係数を求めよう．二項定理により

${(2x^2-xy-3y^2)}^5={\{(2x^2-xy)-3y^2)\}}^5$

$={(2x^2-xy)}^5+5{(2x^2-xy)}^4(-3y^2)+\boxed{\text{カ}}{(2x^2-xy)}^3{(-3y^2)}^2$

$+10{(2x^2-xy)}^2{(-3y^2)}^3+5(2x^2-xy){(-3y^2)}^4+{(-3y^2)}^5$

が成り立つ．${(2x^2-xy)}^5$の展開式における$x^5{y}^5$の係数は$\boxed{\text{キ}}$であり，$5{(2x^2-xy)}^4(-3y^2)$の展開式における$x^5{y}^5$の係数は$\boxed{\text{ク}}$である．さらに，$\boxed{\text{カ}}{(2x^2-xy)}^3{(-3y^2)}^2$の展開式における$x^5{y}^5$の係数は$\boxed{\text{ケ}}$である．また，$10{(2x^2-xy)}^2{(-3y^2)}^3+5(2x^2-xy){(-3y^2)}^4+{(-3y^2)}^5$の展開式における$x^5{y}^5$の係数は$0$である．よって${(2x^2-xy-3y^2)}^5$の展開式における$x^5{y}^5$の係数は$\boxed{\text{コ}}$である．

【２】次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(1)　$a\text{，}b$は実数とする．$x$についての整式

$F(x)=x^3+x^2+ax+b$

が$x+3$で割り切れるとすると，$b=\boxed{\text{ア}}$が成り立つ．ただし，$\boxed{\text{ア}}$は$a$の式である．$b=\boxed{\text{ア}}$を用いて$F(x)$の式から$b$を消去すると，$F(x)=\boxed{\text{イ}}$となる．整式$\boxed{\text{イ}}$を$x+3$で割ったときの商は$\boxed{\text{ウ}}$である．整式$\boxed{\text{ウ}}$が，さらに$x+3$で割り切れるとき，$a$の値は$a=\boxed{\text{エ}}$である．よって，整式$F(x)$が${(x+3)}^2$で割り切れるとき，$a$と$b$の値は$a=\boxed{\text{エ}}\text{，}b=\boxed{\text{オ}}$である．

【２】次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(2)　数列$\{a_n\}$は次の条件によって定められるとする．

$a_1=1\text{，}{a}_{n+1}=3a_n+2\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

$a_{n+1}=3a_n+2$は$a_{n+1}=\boxed{\text{カ}}(a_n+\boxed{\text{キ}})$と変形できる．よって$b_n=a_n+\boxed{\text{キ}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$とおくと，数列$\{b_n\}$は等比数列となり，その一般項は$\boxed{\text{ク}}$である．よって，数列$a_n$の一般項は$\boxed{\text{ケ}}$である．また，$s_1=2\text{，}{s}_{n+1}=4s_n+3\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$という条件で定められる数列$\{s_n\}$の一般項は$\boxed{\text{コ}}$である．

【３】　$a$は$a>2$を満たす実数とする．$f(x)=x^3-a^{2}x\text{，}g(x)=-x^2+a^2$とおく．次の問いに答えよ．

(1)　$xy$平面において，$y=f(x)$のグラフと$y=g(x)$のグラフは$3$つの共有点をもつことを示し，$3$つの共有点の座標をすべて求めよ．

(2)　$y=f(x)$のグラフと$y=g(x)$のグラフの$3$つの共有点を，$x$座標の小さいほうから順に，$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$とする．点$\mathrm{B}$における$y=f(x)$の接線を$l$とし，$l$と$y=g(x)$のグラフとの共有点のうち点$\mathrm{B}$以外の点を$\mathrm{D}$とする．直線$l$の方程式と点$\mathrm{D}$の座標を求めよ．

(3)　$y=g(x)$のグラフと直線$l$で囲まれ，$x\geqq 0$の範囲にある部分の面積を求めよ．