2012　関西学院大　文系学部全学日程2月2日実施MathJax

(1)　$▵\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=1\text{，}B=45\mathrm{°}\text{，}C=30\mathrm{°}$とする．また，点$\mathrm{A}$から辺$\mathrm{BC}$に下ろした垂線を$\mathrm{AH}$とする．線分$\mathrm{AH}\text{，}\mathrm{CA}\text{，}\mathrm{CH}\text{，}\mathrm{BC}$の長さの値は$\mathrm{AH}=\boxed{\text{ア}}\text{，}\mathrm{CA}=\boxed{\text{イ}}\text{，}\mathrm{CH}=\boxed{\text{ウ}}\text{，}\mathrm{BC}=\boxed{\text{エ}}$である．また，$\cos A$の値は$\cos A=\boxed{\text{オ}}$である．

(2)　異なる種類の$2$枚の硬貨$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$がある．$2$枚の硬貨$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$を同時に投げるという試行を$3$回繰り返す．$3$回とも硬貨$\mathrm{A}$が表になる確率は$\boxed{\text{カ}}$である．$3$回とも硬貨$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$の両方が表になる確率は$\boxed{\text{キ}}$である．$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$が同時に表になる試行が$2$回という確率は$\boxed{\text{ク}}$である．$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$の少なくとも一方が表になる試行が$1$回という確率は$\boxed{\text{ケ}}$である．$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$の少なくとも一方が表になる試行の回数の期待値は$\boxed{\text{コ}}$である．

(1)　$a\text{，}b$は実数とし，

$f(x)=a{\cos }^{2}x+b\sin x\cos x$

とおく．関数$f(x)$を$\sin 2x\text{，}\cos 2x$を用いて表すと，

$f(x)={\displaystyle \frac{a}{2}}+\boxed{\text{ア}}\sin 2x+\boxed{\text{イ}}\cos 2x$

となる．ただし，$\boxed{\text{ア}}\text{，}\boxed{\text{イ}}$は$a\text{，}b$の式である．よって，$f(x)$の最大値$M$と最小値$m$を$a\text{，}b$の式で表すと，$M=\boxed{\text{ウ}}\text{，}m=\boxed{\text{エ}}$である．したがって，$M=8\text{，}m=-2$となるとき，$a$の値は$a=\boxed{\text{オ}}$である．

(2)　$t$は$0<t<1$を満たす実数とする．$xy$平面上の$2$点$\mathrm{A}(0,2)$と$\mathrm{B}(\sqrt{3},3)$を結ぶ線分$\mathrm{AB}$を$t:(1-t)$に内分する点$\mathrm{P}$の座標は$(\boxed{\text{カ}},\boxed{\text{キ}})$である．$\mathrm{O}$を原点とし，

$m=|\overrightarrow{\mathrm{OP}}+\overrightarrow{\mathrm{OA}}-\overrightarrow{\mathrm{OB}}|$

とおく． $m^2$を$t$の式で表すと，$m^2=\boxed{\text{ク}}$となる．よって，$m$を$t$の関数と考えたとき，$m$は$t=\boxed{\text{ケ}}$において最小値$\boxed{\text{コ}}$をとる．

(1)　関数$y=f(x)$の増減表をかき，$a\text{，}b$の値と$f(a)\text{，}f(b)$の値を求めよ．

(2)　点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

(3)　点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{B}$を通り，直線$x=a$を軸とする放物線を$C$とする．放物線$C$の方程式を求めよ．

(4)　点$\mathrm{P}$を通り$x$軸に垂直な直線を$l$とする．直線$l$と(3)の放物線$C$の交点を$\mathrm{Q}$とする．線分$\mathrm{AP}\text{，}$線分$\mathrm{PQ}$と(3)の放物線$C$で囲まれる図形の面積を求めよ．