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2012-15113-0801
2012 関西学院大学 理系関学独自方式
2月5日実施
易□ 並□ 難□
【1】 次の文章中の に適する式または数値を,解答用紙の同じ記号のついた の中に記入せよ.途中の計算を書く必要はない.
(1) 1 個のサイコロを 3 回投げる. 3 回とも同じ目が出る確率は ア である.出る目が互いに異なる確率は イ である.また, 2 回以上続けて同じ目が出る確率は ウ である.
2012-15113-0802
(2) ベクトル a → , b→ が | a→ |= 1 , | b→ | =2 , | a→ -b→ | =3 を満たすとき, a→ ⋅b →= エ である.また実数 t に対して | a→ +t⁢ b→ | は t = オ のとき最小値 カ をとる.
2012-15113-0803
(3) 複素数 α =1+2 ⁢i に対して, α2- 2⁢α+ キ =0 である.多項式 P ⁡(x )=x 3+3⁢ x2- 4⁢x+ 14 を x2-2 ⁢x+ キ で割った商は ク , 余りは ケ だから, P⁡( α)= コ である.
2012-15113-0804
【2】 座標平面内に三角形 ABC があり,点 A , B の座標は A (a ,-5) ( a は負の定数), B( 15,-5 ) であるとする.三角形 ABC の内接円は x2+ y2= 25 であり,直線 AC と円 x2+ y2= 25 の接点の座標が ( -4,3 ) であるとき,次の問いに答えよ.
(1) 直線 AC の方程式および a の値を求めよ.
(2) 直線 BC の方程式を求めよ.
(3) 点 C の座標を求めよ.
(4) 三角形 ABC の外接円の中心の座標を求めよ.
2012-15113-0805
【3】 各項が正である数列 { an} と { bn} があり,すべての自然数 n に対して, 2 つの条件
an 2= bn2 +b n+1 2
bn+ 12 =1 2⁢ a n⁢a n+1
を満たしているとする. a1= 4 ,b1 =2 であるとき,次の問いに答えよ.
(1) a2 ,b2 を求めよ.
(2) n≧2 に対して, an を a n-1 と a n+1 を用いて表せ.
(3) 数列 { an} は等差数列であることを示せ.また数列 { an} の一般項を求めよ.
(4) Sn= ∑ k=1 n⁡ 1bk 2 を n の式で表せ.また lim n→∞ ⁡S n を求めよ.
2012-15113-0806
【4】 xy 平面上の 2 曲線 C 1 ,C2 をそれぞれ
C1: y=sin⁡ x ( 0≦x≦ π)
C2: y=sin⁡ 2⁢x ( 0≦ x≦π )
とし, 0<x< π における C 1 と C 2 の交点の x 座標を α とするとき,次の問いに答えよ.
(1) α の値を求めよ.
(2) C1 と C 1 で囲まれた部分の面積を求めよ.
(3) 不定積分 ∫⁡ sin2⁡ x⁢dx および ∫⁡ sin2⁡ 2⁢x⁢ dx を求めよ.
(4) 0≦x≦ α の範囲で C 1 と C 2 で囲まれた部分を x 軸の周りに 1 回転させてできる立体の体積を求めよ.