2012　関西学院大　理系関学独自入試2月5日実施MathJax

【１】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(1)　$1$個のサイコロを$3$回投げる．$3$回とも同じ目が出る確率は$\boxed{\text{ア}}$である．出る目が互いに異なる確率は$\boxed{\text{イ}}$である．また，$2$回以上続けて同じ目が出る確率は$\boxed{\text{ウ}}$である．

【１】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(2)　ベクトル$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$が$\left|\overrightarrow{a}\right|=1\text{，}$$\left|\overrightarrow{b}\right|=2\text{，}$$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|=\sqrt{3}$を満たすとき，$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\boxed{\text{エ}}$である．また実数$t$に対して$|\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}|$は$t=\boxed{\text{オ}}$のとき最小値$\boxed{\text{カ}}$をとる．

【１】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(3)　複素数$\alpha =1+\sqrt{2}i$に対して，${\alpha }^2-2\alpha +\boxed{\text{キ}}=0$である．多項式$P(x)=x^3+3x^2-4x+14$を$x^2-2x+\boxed{\text{キ}}$で割った商は$\boxed{\text{ク}}\text{，}$余りは$\boxed{\text{ケ}}$だから，$P(\alpha )=\boxed{\text{コ}}$である．

【２】　座標平面内に三角形$\mathrm{ABC}$があり，点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$の座標は$\mathrm{A}(a,-5)$（$a$は負の定数），$\mathrm{B}(15,-5)$であるとする．三角形$\mathrm{ABC}$の内接円は$x^2+y^2=25$であり，直線$\mathrm{AC}$と円$x^2+y^2=25$の接点の座標が$(-4,3)$であるとき，次の問いに答えよ．

(1)　直線$\mathrm{AC}$の方程式および$a$の値を求めよ．

(2)　直線$\mathrm{BC}$の方程式を求めよ．

(3)　点$\mathrm{C}$の座標を求めよ．

(4)　三角形$\mathrm{ABC}$の外接円の中心の座標を求めよ．

【３】　各項が正である数列$\{a_n\}$と$\{b_n\}$があり，すべての自然数$n$に対して，$2$つの条件

${a_n}^2={b_n}^2+{b_{n+1}}^2$

${b_{n+1}}^2={\displaystyle \frac{1}{2}}{a}_n{a}_{n+1}$

を満たしているとする．$a_1=4\text{，}{b}_1=2$であるとき，次の問いに答えよ．

(1)　$a_2\text{，}{b}_2$を求めよ．

(2)　$n\geqq 2$に対して，$a_n$を$a_{n-1}$と$a_{n+1}$を用いて表せ．

(3)　数列$\{a_n\}$は等差数列であることを示せ．また数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

(4)　$S_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{1}{{b_k}^2}}$を$n$の式で表せ．また$\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n$を求めよ．

【４】　$xy$平面上の$2$曲線$C_1\text{，}{C}_2$をそれぞれ

$C_1:y=\sin x\text{（}0\leqq x\leqq \pi \text{）}$

$C_2:y=\sin 2x\text{（}0\leqq x\leqq \pi \text{）}$

とし，$0<x<\pi$における$C_1$と$C_2$の交点の$x$座標を$\alpha$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\alpha$の値を求めよ．

(2)　$C_1$と$C_1$で囲まれた部分の面積を求めよ．

(3)　不定積分${\displaystyle \int }{\sin }^{2}xdx$および${\displaystyle \int }{\sin }^{2}2xdx$を求めよ．

(4)　$0\leqq x\leqq \alpha$の範囲で$C_1$と$C_2$で囲まれた部分を$x$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．