2012　関西学院大　神,商,国際,教育,総合政策学部個別日程2月6日実施MathJax

【１】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(1)　$a\text{，}b\text{，}c$は実数とし，

$f(x)=a{x}^2+bx+c$

とおく．関数$f(x)$の最大値が$100$であり，$f(x)\geqq 0$の解が$-1\leqq x\leqq 3$であるとする．このとき，$a\text{，}b\text{，}c$の値は$a=\boxed{\text{ア}}\text{，}b=\boxed{\text{イ}}\text{，}c=\boxed{\text{ウ}}$である．また，$a=\boxed{\text{ア}}\text{，}b=\boxed{\text{イ}}\text{，}c=\boxed{\text{ウ}}$のとき，$2$次不等式

$a{(x+7)}^2+b(x+7)+c\leqq 0$

の解は$x\leqq \boxed{\text{エ}}\text{，}\boxed{\text{オ}}\leqq x$である．

【１】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(2)　玉$\mathrm{A}\text{，}$玉$\mathrm{B}\text{，}$玉$\mathrm{C}\text{，}$玉$\mathrm{D}$の$4$つの玉が入った袋が$n$人の人に$1$つずつ配られている．$n$人の人は，それぞれ自分の袋から玉を$1$個だけ取り出すとする．$n$人の中の誰も玉$\mathrm{A}$を取り出さない確率は$\boxed{\text{カ}}$である．よって，$n$人の中の少なくとも$1$人が玉$\mathrm{A}$を取り出す確率は$\boxed{\text{キ}}$である．$n$人の中の誰も玉$\mathrm{A}$も，玉$\mathrm{B}$も取り出さない確率は$\boxed{\text{ク}}$である．よって，$n$人の中の少なくとも$1$人が玉$\mathrm{A}$か玉$\mathrm{B}$を取り出す確率は$\boxed{\text{ケ}}$である．また，$n$人の中の誰も玉$\mathrm{A}$を取り出さないが，少なくとも$1$人が玉$\mathrm{B}$を取り出す確率は$\boxed{\text{コ}}$である．

【２】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(1)　$xy$平面上において，中心が点$(3,0)\text{，}$半径が$1$の円を$C_1$とし，中心が点$(\sqrt{14},2)\text{，}$半径が$1$の円を$C_2$とする．また，$y$軸上の点$(0,a)$を中心とし，円$C_1$および円$C_2$の両方と外接する円を$C$とする．円$C$の半径を$r$とすると，円$C$と円$C_1$が外接することから${(r+1)}^2=\boxed{\text{ア}}$が成り立ち，円$C$と円$C_2$が外接することから${(r+1)}^2=\boxed{\text{イ}}$が成り立つ．ただし，$\boxed{\text{ア}}\text{，}\boxed{\text{イ}}$は$a$の式である．これらの式から$a$と$r$の値は$a=\boxed{\text{ウ}}\text{，}r=\boxed{\text{エ}}$であることがわかる．また，円$C$と円$C_1$の接点の$x$座標の値は$\boxed{\text{オ}}$である．

【２】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(2)　初項$66\text{，}$公差$d$の等差数列$\{a_n\}$の第$n$項は$a_n=\boxed{\text{カ}}$である．また，数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和を$S_n$とすると，$S_n=\boxed{\text{キ}}$である．数列$\{a_n\}$の第$10$項から第$25$項までの和が$0$であるような$d$の値は$d=\boxed{\text{ク}}$である．$d=\boxed{\text{ク}}$の場合，$a_n<0$となる最小の自然数$n$の値は$n=\boxed{\text{ケ}}$である．よって，$d=\boxed{\text{ク}}$の場合，$S_n$が最大となる$n$の値は$n=\boxed{\text{コ}}$である．

【３】　$k$は正の実数とする．$xy$平面において，放物線$y=-{\displaystyle \frac{1}{3}}{x}^2+k$上の点$\mathrm{P}(p,-{\displaystyle \frac{1}{3}}{p}^2+k)\text{（}0<p<\sqrt{3k}\text{）}$を考える．点$\mathrm{P}$を通り$x$軸に垂直な直線と$x$軸との交点を$\mathrm{H}\text{，}$点$\mathrm{P}$を通り$y$軸に垂直な直線と$y$軸との交点を$\mathrm{K}$とする．次の問いに答えよ．

(1)　直線$y=-2x+25$と放物線$y=-{\displaystyle \frac{1}{3}}{x}^2+k$が共有点をもたないような正の数$k$の値の範囲を求めよ．

(2)　$\mathrm{O}$は$xy$平面の原点とする．長方形$\mathrm{PHOK}$の面積$S(p)$を$0<p<\sqrt{3k}$における$p$の関数と考えて，関数$S(p)$の増減表をかけ．また，関数$S(p)\text{（}0<p<\sqrt{3k}\text{）}$が最大値をとるときの点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

(3)　実数$k$の値は(1)で求めた範囲にあるとし，点$\mathrm{P}$は(2)で求めた座標の位置にあるとする．直線$\mathrm{PH}$と直線$y=-2x+25$の交点を$\mathrm{Q}$とする．放物線$y=-{\displaystyle \frac{1}{3}}{x}^2+k\text{，}$直線$y=-2x+25\text{，}y$軸，線分$\mathrm{PQ}$で囲まれる図形の面積を求めよ．