2012　関西学院大　社会,法学部個別日程2月7日実施MathJax

(1)　$a\text{，}m$は整数とし，

$(\sqrt{2}+1)a^2+(m\sqrt{2}+2)a+4\sqrt{2}+2m=0\cdots \text{①}$

を満たすとする．式$\text{①}$を

$\sqrt{2}(\boxed{\text{ア}})+\boxed{\text{イ}}=0$

と変形し，$\sqrt{2}$が無理数であることを用いると$\boxed{\text{ア}}=0$と$\boxed{\text{イ}}=0$が成り立つことがわかる．よって$\boxed{\text{ア}}-\boxed{\text{イ}}=0$が成り立つ．したがって，$m\ne 2$のとき，$a=\boxed{\text{ウ}}\text{，}m=\boxed{\text{エ}}$である．また，$m=2$のとき，$\boxed{\text{ア}}=0$から，$a$についての等式$\boxed{\text{オ}}=0$が導かれるが，この式を満たす整数$a$はない．よって，式$\text{①}$を満たす整数$a$と$m$の値は$a=\boxed{\text{ウ}}\text{，}m=\boxed{\text{エ}}$であることがわかる．

(2)　袋の中に$1\text{，}2\text{，}3\text{，}4\text{，}5\text{，}6$の数が$1$つずつ書かれた$6$個の玉が入っている．ここから同時に$3$個の玉を取り出す．$3$個の玉の組合せの総数は$\boxed{\text{カ}}$通りである．取り出された$3$個の玉に書かれた数を小さい順に$X\text{，}Y\text{，}Z$とする．$Y=2$となる確率は$\boxed{\text{キ}}\text{，}Y=3$となる確率は$\boxed{\text{ク}}\text{，}Y=4$となる確率は$\boxed{\text{ケ}}$である．また，$Y$の期待値は$\boxed{\text{コ}}$である．

(1)　$a$は実数とし，

$f(x)={({\log }_{2}x)}^2-{\log }_2{x}^a+{\log }_2{\displaystyle \frac{x}{4}}$

とおく．$t={\log }_{2}x$とおくと，$f(x)$は$t$の$2$次式$\boxed{\text{ア}}$で表される．よって，$a=2$のとき，関数$f(x)$は$x=\boxed{\text{イ}}$において最小値$\boxed{\text{ウ}}$をとる．また，関数

$f(x)={({\log }_{2}x)}^2-{\log }_2{x}^a+{\log }_2{\displaystyle \frac{x}{4}}({\displaystyle \frac{1}{8}}\leqq x\leqq 2)$

の最小値は，$-3\leqq {\displaystyle \frac{a-1}{2}}\leqq 1$の場合は$\boxed{\text{エ}}$であり，${\displaystyle \frac{a-1}{2}}<-3$の場合は$\boxed{\text{オ}}$である．ただし，$\boxed{\text{エ}}\text{，}\boxed{\text{オ}}$は$a$の式である．

(2)　空間内に一辺の長さが$1$の正四面体$\mathrm{OABC}$がある．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}$$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}\text{，}$$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$とするとき，$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$の内積の値は$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\boxed{\text{カ}}\text{，}$$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{\mathrm{BC}}$の内積の値は$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}=\boxed{\text{キ}}$となる．辺$\mathrm{OA}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{P}\text{，}$辺$\mathrm{BC}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{Q}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$を用いて表すと，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\boxed{\text{ク}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\boxed{\text{ケ}}$となる．また，$\left|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\right|$の値は$\left|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\right|=\boxed{\text{コ}}$である．

(1)　$f(x)$が極値をもたないような$a$の値の範囲を求めよ．

(2)　$a=1$とする．$xy$平面において直線$y=g(x)$が曲線$y=f(x)$の接線となるような負の数$b$の値を求めよ．

(3)　$a=1$とし，$b$は(2)で求めた値に等しいとする．$xy$平面における直線$y=g(x)$と曲線$y=f(x)$の共有点の座標をすべて求めよ．