2012　鳥取環境大学　A　2月4日実施MathJax

【１】(1)　$x$についての$2$次方程式と不等式

$x^2-(2a+6)x+7a+11=0\cdots \text{①}$

$bx-2>3b-x\cdots \text{②}$

を考える．ただし，$a\text{，}b$は定数である．

(ⅰ)　$\text{①}$が$x=-1$を解にもつとき，$a=\boxed{\text{アイ}}$であり，もう$1$つの解は$x=\boxed{\text{ウ}}$である．

(ⅱ)　$b=-3$のとき，$\text{②}$の解は$x<{\displaystyle \frac{\boxed{\text{エ}}}{\boxed{\text{オ}}}}$である．

(ⅲ)　$\text{①}$が重解をもつとき，$a=\boxed{\text{カキ}}$で重解は$x=\boxed{\text{ク}}$または，$a=\boxed{\text{ケ}}$で重解は$x=\boxed{\text{コ}}$である．また，$x=\boxed{\text{ク}}\text{，}x=\boxed{\text{コ}}$がともに$\text{②}$を満たすとき，$b$のとり得る値の範囲は，${\displaystyle \frac{\boxed{\text{サシ}}}{\boxed{\text{ス}}}}<b<\boxed{\text{セ}}$である．

【１】(2)　半径$15$の円$O$に内接する$▵\mathrm{ABC}$があり，各辺の長さは定数$k$を用いて，$\mathrm{AB}=5k\text{，}\mathrm{BC}=9k\text{，}\mathrm{CA}=7k$と表される．

(ⅰ)　$\cos \angle \mathrm{BCA}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ソ}}}{\boxed{\text{タ}}}}\text{，}\sin \angle \mathrm{BCA}={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{チツ}}}}{\boxed{\text{テ}}}}$であり，$k=\sqrt{\boxed{\text{トナ}}}$である．

(ⅱ)　$2$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$を通り，半径$15$の円$O^{\prime }$がある．ただし，円$O^{\prime }$は円$O$と異なる円とする．直線$\mathrm{AC}$と円$O^{\prime }$の交点のうち，$\mathrm{A}$と異なる点を$\mathrm{D}\text{，}$直線$\mathrm{BC}$と円$O^{\prime }$の交点のうち，$\mathrm{B}$と異なる点を$\mathrm{E}$とする．このとき，$\mathrm{AE}=\boxed{\text{ニ}}k\text{，}\mathrm{BD}=\boxed{\text{ヌ}}k$であり，$▵\mathrm{ABC}$と$▵\mathrm{DEC}$の面積の比は，${\displaystyle \frac{▵\mathrm{ABC}}{▵\mathrm{DEC}}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ネ}}}{\boxed{\text{ノハ}}}}$である．

【２】(1)　$6$個の球が横一列に並んでいる．球と球の間または両端の計$7$か所から，無作為に$2$か所を選び，そこに棒を置く．このとき，（間に棒がなく）連続して並んでいる球の個数の最大値を$X$とする．例えば，右図の(ア)のときは，$X=4\text{，}$(イ)のときは$X=3$である．

(ⅰ)　$X=6$となる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イウ}}}}\text{，}X=5$となる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{エ}}}{\boxed{\text{オカ}}}}$である．

(ⅱ)　$X=2$となる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{キ}}}{\boxed{\text{クケ}}}}\text{，}X=4$となる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{コ}}}{\boxed{\text{サ}}}}$である．

(ⅲ)　$X$の期待値は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{シス}}}{\boxed{\text{セソ}}}}$である．

【２】(2)　$x$の$3$次式$P(x)=x^3-(a+5)x^2+(6a+4)x+b$があり，$P(4)=0$を満たしている．ただし，$a\text{，}b$は定数である．

(ⅰ)　$b=\boxed{\text{タチ}}a$であり，$P(x)$を因数分解すると，

$P(x)=(x-\boxed{\text{ツ}})\{x^2-(a+\boxed{\text{テ}})x+\boxed{\text{ト}}a\}$

となる．

(ⅱ)　$2$次方程式$x^2-(a+\boxed{\text{テ}})x+\boxed{\text{ト}}a=0\cdots \text{①}$の解を$a\text{，}\beta$とする．

$a\beta -\boxed{\text{ナ}}(a+\beta )+\boxed{\text{ニ}}=0$

であるから，$\text{①}$の解がすべて自然数となるとき，$a=\boxed{\text{ヌ}}$であり，$\text{①}$の解は$x=\boxed{\text{ネ}}\text{，}\boxed{\text{ノ}}$である．ただし，$\boxed{\text{ネ}}$と$\boxed{\text{ノ}}$は解答の順序を問わない．

【３】(1)　数列$\{a_n\}$の初項$a_1$から第$n$項までの和は$S_n=n^2-18n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$である．

(ⅰ)　$a_1=\boxed{\text{アイウ}}$であり，数列$\{a_n\}$の一般項は$a_n=\boxed{\text{エ}}n-\boxed{\text{オカ}}$である．

(ⅱ)　数列$\{b_n\}$があり，$b_1=1\text{，}{b}_n{b}_{n+1}=2\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$を満たしている．$n$を自然数とするとき，$T_n={\displaystyle \sum _{k=1}^{2n}}{a}_k{b}_k$とする．このとき，

$T_n=\boxed{\text{キ}}{n}^2-\boxed{\text{クケ}}n$

であり，$T_n$は$n=\boxed{\text{コ}}$のとき，最小値$\boxed{\text{サシスセ}}$をとる．

【３】(2)　$3$次関数$f(x)=x^3-a{x}^2+15x+b$がある．ただし，$a\text{，}b$は定数である．$f(x)$は，$x=1$で極大値$8$をとる．

(ⅰ)　$a=\boxed{\text{ソ}}\text{，}b=\boxed{\text{タ}}$であり，$f(x)$は$x=\boxed{\text{チ}}$で極小値$\boxed{\text{ツテト}}$をとる．

(ⅱ)　$p$を正の数とする．$0\leqq x\leqq p$における$f(x)$の最大値が$8$であり，かつその最小値が$\boxed{\text{ツテト}}$のとき，$p$のとり得る値の範囲は$\boxed{\text{ナ}}\leqq p\leqq \boxed{\text{ニ}}$である．