2012　広島修道大学　人文(人間関係),経済科学部前期Ａ日程MathJax

【１】　空欄$\boxed{\text{①}}$から$\boxed{\text{⑪}}$にあてはまる数値または式を，解答用紙の該当する番号の枠内に記入せよ．

(1)　$a\text{，}b$を実数とする．$2$次方程式$x^2+ax+b=0$の$1$つの解$\alpha$が$1-\sqrt{3}i$のとき，$a=\boxed{\text{①}}\text{，}b=\boxed{\text{②}}$となる．もう$1$つの解を$\beta$とするとき，$\alpha -2\text{，}\beta -2$を解とし，$x^2$の係数が$1$である$2$次方程式は$x^2+\boxed{\text{③}}x+\boxed{\text{④}}=0$となる．

【１】　空欄$\boxed{\text{①}}$から$\boxed{\text{⑪}}$にあてはまる数値または式を，解答用紙の該当する番号の枠内に記入せよ．

(2)　$a=\sqrt{3}$のとき，$|a-2|+|a+3|$の値は$\boxed{\text{⑤}}$である．また，方程式$|x+1|=4$の解は$\boxed{\text{⑥}}$である．

【１】　空欄$\boxed{\text{①}}$から$\boxed{\text{⑪}}$にあてはまる数値または式を，解答用紙の該当する番号の枠内に記入せよ．

(3)　$2+\sqrt{2}$の整数部分を$a\text{，}$小数部分を$b$とするとき，$2a^2-(b^3+{\displaystyle \frac{1}{b^3}})$の値は$\boxed{\text{⑦}}$である．

【１】　空欄$\boxed{\text{①}}$から$\boxed{\text{⑪}}$にあてはまる数値または式を，解答用紙の該当する番号の枠内に記入せよ．

(4)　$1$個のさいころを投げて，出た目が奇数なら$2$ポイント，偶数なら$4$ポイント獲得できるゲームがある．$1$回投げて獲得できるポイントの期待値は$\boxed{\text{⑧}}$である．また，さいころを$3$回投げたとき，獲得したポイントの合計が$12$である確率は$\boxed{\text{⑨}}$であり，$10$以上である確率は$\boxed{\text{⑩}}$である．

【１】　空欄$\boxed{\text{①}}$から$\boxed{\text{⑪}}$にあてはまる数値または式を，解答用紙の該当する番号の枠内に記入せよ．

(5)　放物線$y=x^3-3x^2+2$上の点$(1,0)$における接線の方程式は$\boxed{\text{⑪}}$である．

【２】　放物線$y=-x^2+x+2$に点$(0,3)$から接線を引く．このとき，次の問に答えよ．

(1)　接線の方程式を求めよ．

(2)　この放物線と(1)で求めた$2$本の接線で囲まれた図形の面積を求めよ．

【３】　円$x^2+y^2=9$を$C$とする．円$C$が直線$y=-x+k$と異なる$2$つの共有点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$をもつとき，次の問に答えよ．

(1)　$k=1$のとき，線分$\mathrm{AB}$の長さを求めよ．

(2)　$\mathrm{AB}=4$となるような定数$k$の値を求めよ．

(3)　$\mathrm{AB}=4$かつ$k>0$のとき，点$\mathrm{A}$における円$C$の接線と点$\mathrm{B}$における円$C$の接線の交点を$\mathrm{P}$とする．三角形$\mathrm{ABP}$の面積を求めよ．また，点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．

(1)　方程式$|x-2|+|3x+3|=11$を解け．

(2)　連立方程式

$\{\begin{array}{l}x+3y=14\\ {\log }_{\sqrt{2}}(x-y)=2\end{array}$

を解け．

(3)　$a\text{，}b\text{，}c$を定数とする．関数$f(x)=x^3+a{x}^2+bx+c$が$f(3)=16\text{，}{f}^{\prime }(2)=f^{\prime }(-2)=9$を満たすとき，$a\text{，}b\text{，}c$の値を求めよ．

(4)　(3)で求めた関数$f(x)$の増減を調べて，極値を求めよ．

【２】　$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の$2$人がじゃんけんを行う．$\mathrm{A}$が「グー」，「チョキ」，「パー」を出す確率はそれぞれ${\displaystyle \frac{4}{9}}\text{，}{\displaystyle \frac{1}{3}}\text{，}{\displaystyle \frac{2}{9}}$であり，$\mathrm{B}$が「グー」，「チョキ」，「パー」を出す確率はそれぞれ$p\text{，}q\text{，}r$である．$1$回のじゃんけんで$\mathrm{A}$の勝つ確率が${\displaystyle \frac{1}{3}}$であるとき，次の各問に答えよ．

(1)　$1$回のじゃんけんであいこになる確率を$p$で表せ．

(2)　$1$回のじゃんけんで$\mathrm{B}$の勝つ確率を$p$で表せ．

(3)　$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が$2$回じゃんけんを行う．$2$回のじゃんけんが独立であるとき，$2$回のうち$1$回はあいこで$1$回は$\mathrm{B}$が勝つ確率が${\displaystyle \frac{2}{9}}$となる$p$の値を求めよ．

【３】　$r$を正の定数とするとき，次の各問に答えよ．

(1)　直線$x+y=3$と円$x^2+y^2=r^2$が共有点をもつような$r$の範囲を求めよ．

(2)　直線$x+y=3$と円$x^2+y^2=r^2$が共有点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$をもち，$\mathrm{AB}=1$となる$r$の値を求めよ．

(3)　実数$x\text{，}y$が不等式$x+y\geqq 3$を満たすとき，$x^2+y^2+2x+2y$の最小値を求めよ．