2012　西南学院大学　神,経済学部Ａ日程MathJax

【１】

1　半径$R$の円に，四角形$\mathrm{ABCD}$が内接している．$\mathrm{AB}=\mathrm{BC}=\sqrt{19}\text{，}\mathrm{AD}=2\text{，}\mathrm{CD}=3$のとき，$\mathrm{AC}=\sqrt{\boxed{\text{アイ}}}\text{，}R={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{ウエ}}}}{\boxed{\text{オ}}}}\text{，}\mathrm{BD}=\boxed{\text{カ}}$である．

【１】

2　実数$a$に対して，集合$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$および全体集合$\mathrm{U}$が次のように定義されている．

$\mathrm{A}=\{2,-a+5,a^2-2a+1,a^2+a-6\}$

$\mathrm{B}=\{4,a^2-6a+8,a^2-6x+9\}$

$\mathrm{C}=\{a^2-a-2,a^3-8a^2+19a-12\}$

$\mathrm{U}=\mathrm{A}\cup \mathrm{B}\cup \mathrm{C}$

　いま$\mathrm{A}\cap \mathrm{B}\cap \mathrm{C}=\{0\}$のとき，以下の問に答えよ．

(1)　$a=\boxed{\text{キ}}$である．

(2)　$\mathrm{A}\cap \mathrm{B}=\{0,\boxed{\text{ク}}\}$である．

(3)　$(\bar{\mathrm{A}}\cup \bar{\mathrm{B}})\cap (\mathrm{A}\cup \mathrm{C})=\{\boxed{\text{ケ}},\boxed{\text{コ}}\}$である．ただし，$\boxed{\text{ケ}}<\boxed{\text{コ}}$とする．

【２】

１　$a$は実数とする．${\displaystyle {\int }_a^x}f(t)dt=3x^3-5x^2-4x+4$のとき，以下の問に答えよ．

(1)　$f(x)=\boxed{\text{サ}}{x}^2-\boxed{\text{シス}}x-\boxed{\text{セ}}$である．

(2)　$a$の値は小さい順に$\boxed{\text{ソタ}}\text{，}{\displaystyle \frac{\boxed{\text{チ}}}{\boxed{\text{ツ}}}}\text{，}\boxed{\text{テ}}$である．

(3)　$b{\displaystyle {\int }_{x-1}^{x+1}}f(t)dt+cx=x{f}^{\prime }(x)-2$を満たす$b\text{，}c$は，$b=\boxed{\text{ト}}\text{，}c=\boxed{\text{ナニ}}$である．

【２】

２　等比数列$\{a_n\}$について，$a_{10}=40\text{，}{a}_{15}={\displaystyle \frac{5}{4}}$であるとき，以下の問に答えよ．ただし，$a_n$はすべて実数である．

(1)　公比は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヌ}}}{\boxed{\text{ネ}}}}$である．

(2)　${\displaystyle \sum _{n=15}^{19}}{a}_n={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ノハヒ}}}{\boxed{\text{フヘ}}}}$である．

(3)　$a_n<{10}^{-3}$を満たす最小の$n$は，$n=\boxed{\text{ホマ}}$である．ただし，${\log }_{10}2=0.301$として計算せよ．

【３】

1　原点を$\mathrm{O}$とする空間に四面体$\mathrm{OPQR}$がある．$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$の位置ベクトルをそれぞれ，$\overrightarrow{p}\text{，}\overrightarrow{q}\text{，}\overrightarrow{r}$とするとき，$▵\mathrm{PQR}$の重心$\mathrm{G}$の位置ベクトル$\overrightarrow{g}$は，$\overrightarrow{g}={\displaystyle \frac{1}{3}}(\overrightarrow{p}+\overrightarrow{q}+\overrightarrow{r})$となることを示せ．

【３】

2　原点を$\mathrm{O}$とする空間に$2$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$があり，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とする．$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角が$0\mathrm{°}$より大きく$90\mathrm{°}$未満のとき，以下の問に答えよ．

(1)　$\mathrm{A}$から直線$\mathrm{OB}$に下ろした垂線の足を${\mathrm{H}}_1$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{H}}_1}$を$\overrightarrow{a}$および$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．

(2)　さらに$\mathrm{B}$から直線$\mathrm{OA}$に下ろした垂線の足を${\mathrm{H}}_2$とする．$\overrightarrow{a}=(1,1,1)\text{，}\overrightarrow{b}=(2,2,1)$であるとき，線分${\mathrm{H}}_1{\mathrm{H}}_2$の長さを求めよ．