2012　西南学院大学　人間科学部Ａ日程MathJax

【１】

1　$2$次関数のグラフ$C_1:y=2x^2+2x$について，以下の問に答えよ．

(1)　$C_2:y=2x^2-10x+17$のグラフは$C_1$を$x$軸の正の方向に$\boxed{\text{ア}}\text{，}y$軸の正の方向に$\boxed{\text{イ}}$だけ平行移動したものである．

(2)　$C_3$のグラフは$C_1$を平行移動したものである．$C_3$の頂点$\mathrm{A}$は，単位円の上にある．$C_1$の頂点と$\mathrm{A}$の距離が最小になるとき，$C_3:y=\boxed{\text{ウ}}{x}^2+\boxed{\text{エ}}\sqrt{\boxed{\text{オ}}}x+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{カ}}-\sqrt{\boxed{\text{キ}}}}{\boxed{\text{ク}}}}$である．

【１】

2　以下の問に答えよ．

(1)　$\pi \leqq \theta <2\pi \text{，}\cos \theta ={\displaystyle \frac{3}{5}}$のとき$\sin 2\theta ={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケコサ}}}{\boxed{\text{シス}}}}\text{，}\cos 2\theta ={\displaystyle \frac{\boxed{\text{セソ}}}{\boxed{\text{タチ}}}}$である．

【１】

2　以下の問に答えよ．

(2)　$\cos 15\mathrm{°}\cos 45\mathrm{°}\cos 75\mathrm{°}={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{ツ}}}}{\boxed{\text{テ}}}}$である．

【１】

2　以下の問に答えよ．

(3)　$\sin 20\mathrm{°}+\sin 40\mathrm{°}-\cos 10\mathrm{°}=\boxed{\text{ト}}$である．

【２】

1　$x^3=1$の解のうち，虚数であるものの$1$つを$\omega$とするとき，以下の問に答えよ．

(1)　${\displaystyle \frac{1}{\omega }}+{\displaystyle \frac{1}{{\omega }^2}}+{\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{ナ}}}}=-{\displaystyle \frac{2}{3}}$である．

(2)　$\omega$に共役な複素数を$\bar{\omega }$とするとき，$({\bar{\omega }}^4+3\omega +1)({\omega }^4+\bar{\omega }+3)=\boxed{\text{ニ}}\omega$である．

(3)　$\omega +1$および$\bar{\omega }+1$を解とする$x$の$2$次方程式の$1$つは$x^2+\boxed{\text{ヌネ}}x+\boxed{\text{ノ}}=0$である．

【２】

2　青いボールが$2$個，黄色いボールが$2$個，赤いボールが$3$個ある．これら$7$個のボールから$4$個を取り出すとき，以下の問に答えよ．

ただし，ボールは，色の違いの他には区別がないものとする．

(1)　$4$個を取り出す組合わせは全部で$\boxed{\text{ハ}}$通りである．

(2)　取り出した$4$個のボールを$2$個ずつに分けるとき，分け方は全部で$\boxed{\text{ヒフ}}$通りである．

(3)　$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$という箱がある．取り出した$4$個のボールをこれらの箱に$2$個ずつ入れるとき，入れ方は全部で$\boxed{\text{ヘホ}}$通りである．

【３】　同一直線上にない$3$点$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$がある．$\mathrm{O}$を原点として，以下の問に答えよ．

(1)　線分$\mathrm{AB}$を$m:n$に内分する点$\mathrm{P}$の位置ベクトルは

$\overrightarrow{\mathrm{OP}}={\displaystyle \frac{n}{m+n}}\overrightarrow{\mathrm{OA}}+{\displaystyle \frac{m}{m+n}}\overrightarrow{\mathrm{OB}}$

で表されることを示せ．

(2)　$\alpha \text{，}\beta$を実数として，点$\mathrm{Q}$を

$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\alpha \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\beta \overrightarrow{\mathrm{OB}}$

で表されるベクトルの終点とする．$\alpha \text{，}\beta$が次のそれぞれの関係式を満たすとき，点$\mathrm{Q}$の存在範囲を図示せよ．ただし，結果に至るプロセスも示すこと．

$\text{①}$　$\alpha \geqq 0\text{，}\beta \geqq 0\text{，}\alpha +\beta =1$

$\text{②}$　$\alpha \geqq 0\text{，}\beta \geqq 0\text{，}\alpha +\beta \leqq 1$

$\text{③}$　$\alpha \geqq 0\text{，}\beta \geqq 0\text{，}1\leqq \alpha +\beta \leqq 2$