2012　福岡大学　理・医学部医学科MathJax

【１】　次の$\boxed{}$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅰ)　$2$つの直線$y=-{\displaystyle \frac{1}{3}}x+1$と$y=0$のなす角を${\theta }_1$とすると，$\cos {\theta }_1=\boxed{\text{(1)}}$である．また，$2$つの直線$y=-{\displaystyle \frac{1}{3}}x+1$と$y={\displaystyle \frac{1}{2}}x+1$のなす角を${\theta }_2$とすると，$\cos {\theta }_2=\boxed{\text{(2)}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅱ)　${\displaystyle \frac{\sqrt{6}+2}{\sqrt{6}-2}}$の整数部分の値は$\boxed{\text{(3)}}$である．また，等式$\left|x\right|+|x-3|=x+1$をみたす$x$の値をすべて求めると，$x=\boxed{\text{(4)}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅲ)　曲線$y=x^2-1$上を動く点$\mathrm{P}$と，直線$y=x-3$上を動く点$\mathrm{Q}$との距離が最小となるときの点$\mathrm{Q}$の座標は$\boxed{\text{(5)}}$であり，このときの距離は$\boxed{\text{(6)}}$である．

【２】　次の$\boxed{}$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅰ)　一辺の長さが$1$の正三角形$\mathrm{OAB}$がある．辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}$とする．辺$\mathrm{OA}$上に点$\mathrm{P}$をとり，線分$\mathrm{OM}$と線分$\mathrm{BP}$との交点を$\mathrm{Q}$とする．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}$$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}\text{，}$$k=\left|\overrightarrow{\mathrm{OP}}\right|$とおく．$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$k$で表すと，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\boxed{\text{(5)}}$である．また，$\left|\overrightarrow{\mathrm{OP}}\right|=\left|\overrightarrow{\mathrm{OQ}}\right|$となるとき，$k$の値は$\boxed{\text{(6)}}$である．

【２】　次の$\boxed{}$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅱ)　偶数の列を，次のように$\text{第}1\text{群，}\text{第}2\text{群，}\text{第}3\text{群，}\cdots$に分ける．

$2,|4,6,|8,10,12,|\cdots$

このとき，$2012$を第$n$群の$m$番目の偶数とすると，$n=\boxed{\text{(3)}}\text{，}m=\boxed{\text{(4)}}$である．

【３】　$f(x)={\displaystyle \frac{{(\log x)}^2}{x}}\text{（}x>0\text{）}$とする．曲線$C\text{：}y=f(x)$上の点$\mathrm{P}(a,f(a))$と点$\mathrm{Q}(b,f(b))$における曲線$C$の$2$つの接線が共に原点を通るとき，次の問いに答えよ．ただし，$a<b$で，対数は自然対数とする．

(ⅰ)　$a\text{，}b$の値と点$\mathrm{Q}(b,f(b))$における曲線$C$の法線の方程式を求めよ．

(ⅱ)　点$\mathrm{P}(a,f(a))$における$C$の接線，点$\mathrm{Q}(b,f(b))$における$C$の法線，および曲線$C$によって囲まれる部分の面積を求めよ．

【１】　次の$\boxed{}$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅱ)　$0<k<2$とする．曲線$C:y=x^2$上を動く点$\mathrm{P}$と，直線$y=2k(x-1)$上を動く点$\mathrm{Q}$との距離が最小となるとき，点$\mathrm{P}$の座標を$k$の式で表すと$\boxed{\text{(3)}}$である．このときの直線$\mathrm{PQ}$と曲線$C$とで囲まれる部分の面積が最小になる$k$の値を求めると，$k=\boxed{\text{(4)}}$である．

【２】　次の$\boxed{}$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅰ)　$0<k<3$のとき，等式$|x-k|+|x-3|=x+1$をみたす$2$つの解を$\alpha \text{，}\beta \text{（}\alpha <\beta \text{）}$とする．このとき$\beta$を$k$の式で表すと$\beta =\boxed{\text{(1)}}$である．また，$\beta -\alpha =5$となる$k$の値を求めると，$k=\boxed{\text{(2)}}$である．

【２】　次の$\boxed{}$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅱ)　奇数の列を，次の様に第$1$群，第$2$群，第$3$群，$\cdots$に分ける．

$1,|3,5,7,|9,11,13,15,17,|\cdots$

このとき，$2013$を第$n$群の$m$番目の奇数とすると，$(n,m)=\boxed{\text{(3)}}$であり，$2013$が属する第$n$群の奇数の総和は$\boxed{\text{(4)}}$である．

【３】　$f(x)={\displaystyle \frac{{(\log x)}^2}{x}}\text{（}x>0\text{）}$とする．曲線$C:y=f(x)$上の点$\mathrm{P}(a,f(a))$と点$\mathrm{Q}(b,f(b))$における曲線$C$の$2$つの接線が共に原点を通るとき，次の問いに答えよ．ただし，$a<b$で，対数は自然対数とする．

(ⅰ)　$a\text{，}b$の値と点$\mathrm{Q}(b,f(b))$における曲線$C$の法線の方程式を求めよ．

(ⅱ)　点$\mathrm{P}(a,f(a))$における$C$の接線，点$\mathrm{Q}(b,f(b))$における$C$の法線，および曲線$C$によって囲まれる部分の面積を求めよ．