2012　福岡大学　工・薬学部センタープラスMathJax

【１】　次の$\boxed{}$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅰ)　$3$次方程式$x^3-x^2-4=0$の$2$つの虚数解を$\alpha$と$\beta$とするとき，$\alpha +\beta$の値は$\boxed{\text{(1)}}$である．また，${\alpha }^2$と${\beta }^2$を解とする$2$次方程式を求めると$\boxed{\text{(2)}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅱ)　方程式${\log }_2(x+1)-{\log }_2(x^2-2)=-1$を解くと$x=\boxed{\text{(3)}}$となる．また，不等式$4^x-3\cdot 2^{x+1}+8\geqq 0$を解くと，$x$の範囲は$\boxed{\text{(4)}}$となる．

【１】　次の$\boxed{}$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅲ)　$3$個のサイコロを投げるとき，出た目の最小値が$3$以上である確率は$\boxed{\text{(5)}}$で，出た目の最小値が$3$である確率は$\boxed{\text{(6)}}$となる．

【２】　次の$\boxed{}$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅰ)　関数$y=2(2\sin 2\theta +1){\cos }^2\theta -\sin 2\theta -1$に対して，$t=\sin 2\theta +\cos 2\theta$とおくとき，$y$を$t$の式で表すと$\boxed{\text{(1)}}$である．また，$0<\theta \leqq \pi$のとき，関数$y$が最大値をとるときの$\theta$の値は$\boxed{\text{(2)}}$である．

【２】　次の$\boxed{}$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅱ)　三角形$\mathrm{OAB}$の重心を$\mathrm{G}$とし，辺$\mathrm{AB}$を$1:5$に内分する点を$\mathrm{P}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とおくとき，$\overrightarrow{\mathrm{PG}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表すと$\overrightarrow{\mathrm{PG}}=\boxed{\text{(3)}}$である．さらに，直線$\mathrm{PG}$と辺$\mathrm{OB}$の交点を$\mathrm{Q}$とするとき，$\mathrm{OQ}:\mathrm{QB}=\boxed{\text{(4)}}$である．

【３】　曲線$C\text{：}y={\displaystyle \frac{8x}{x^2+3}}\text{（}x\geqq 0\text{）}$について，次の問いに答えよ．

(ⅰ)　$x>0$の範囲で，曲線$C$の変曲点を求めよ．

(ⅱ)　曲線$C$と変曲点における接線および$y$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．

【１】　次の$\boxed{}$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅱ)　不等式$4^x-3\cdot 2^{x+1}+8\geqq 0$を解くと，$x$の範囲は$\boxed{\text{(3)}}$となる．また，連立方程式$\{\begin{array}{l}2\cdot 3^x-3^y=-9\\ {\log }_2(x-1)-{\log }_2(y-1)=-1\end{array}$を解くと，$(x,y)=\boxed{\text{(4)}}$となる．

【１】　次の$\boxed{}$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅲ)　$3$個のサイコロを投げるとき，出た目の最小値が$3$となる確率は$\boxed{\text{(5)}}$で，出た目の最小値の期待値は$\boxed{\text{(6)}}$となる．

【２】　次の$\boxed{}$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅱ)　三角形$\mathrm{OAB}$の重心を$\mathrm{G}$とし，辺$\mathrm{AB}$を$t:(1-t)$に内分する点を$\mathrm{P}\text{，}$辺$\mathrm{OB}$を$s:(1-s)$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする．$3$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{G}\text{，}\mathrm{Q}$が一直線上にあるとき，$s$を$t$の式で表すと$\boxed{\text{(3)}}$である．また，$t$のとりうる値の範囲は$\boxed{\text{(4)}}$である．

【３】　曲線$C\text{：}y=-{\displaystyle \frac{1}{3}}{x}^3+x+{\displaystyle \frac{1}{3}}$と直線$l\text{：}y=-{\displaystyle \frac{1}{2}}x+{\displaystyle \frac{3}{2}}$について，次の問いに答えよ．

(ⅰ)　曲線$C$について，$y=0$となる点の$x$座標を$\alpha \text{，}\beta \text{，}\gamma \text{（}\alpha <\beta <\gamma \text{）}$とするとき，$\beta$と$-{\displaystyle \frac{1}{3}}$の大小を比較せよ．

(ⅱ)　直線$l$上の点$(a,b)$を通り，傾きが$-3$の直線を$m$とする．直線$m$が曲線$C$と異なる$3$点で交わるときの$a$の値の範囲を求めよ．