2013　大学入試センター試験　本試験　数学I／数学IAMathJax

【１】

［１］　$A={\displaystyle \frac{1}{1+\sqrt{3}+\sqrt{6}}}\text{，}B={\displaystyle \frac{1}{1-\sqrt{3}+\sqrt{6}}}$とする．

　このとき

$AB={\displaystyle \frac{1}{{(1+\sqrt{6})}^2-\boxed{\text{ア}}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{6}-\boxed{\text{イ}}}{\boxed{\text{ウ}}}}$

であり，また

${\displaystyle \frac{1}{A}}+{\displaystyle \frac{1}{B}}=\boxed{\text{エ}}+\boxed{\text{オ}}\sqrt{6}$

である．以上により

$A+B={\displaystyle \frac{\boxed{\text{カ}}-\sqrt{6}}{\boxed{\text{キ}}}}$

となる．

【１】

［２］　$a$を定数とし，二つの不等式

$\begin{array}{cc}|2x+13|\geqq 3& \cdots \text{①}\\ x^2-2ax+2a^2+10a+15\leqq 0& \cdots \text{②}\end{array}$

を考える．

　下の$\boxed{\text{タ}}$には，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{3}}$のうちから当てはまるものを一つ選べ．

• $\overline{)\text{0}}$　$>$
• $\overline{)\text{1}}$　$<$
• $\overline{)\text{2}}$　$\geqq$
• $\overline{)\text{3}}$　$\leqq$

　不等式$\text{①}$の解は

$x\leqq \boxed{\text{クケ}}\text{，}$$\boxed{\text{コサ}}\leqq x$

であり，これと次の$2$次不等式

$x^2+\boxed{\text{シス}}x+\boxed{\text{セソ}}\boxed{\text{タ}}0$

の解は一致する．

　次に，不等式$\text{②}$を満たす実数$x$が存在するような$a$の値の範囲は

$\boxed{\text{チツ}}-\sqrt{\boxed{\text{テト}}}\leqq a\leqq \boxed{\text{チツ}}+\sqrt{\boxed{\text{テト}}}$

であり，この範囲にある最小の整数は$\boxed{\text{ナニ}}$である．

　$a=\boxed{\text{ナニ}}$のとき，二つの不等式$\text{①}$と$\text{②}$をともに満たす$x$の値の範囲は

$\boxed{\text{ヌネ}}\leqq x\leqq \boxed{\text{ノハ}}$

である．

【２】　座標平面上にある点$\mathrm{P}$は，点$\mathrm{A}(-8,8)$から出発して，直線$y=-x$上を$x$座標が$1$秒あたり$2$増加するように一定の速さで動く．また，同じ座標平面上にある点$\mathrm{Q}$は，点$\mathrm{P}$が$\mathrm{A}$を出発すると同時に原点$\mathrm{O}$から出発して，直線$y=10x$上を$x$座標が$1$秒あたり$1$増加するように一定の速さで動く．出発してから$t$秒後の$2$点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$を考える．点$\mathrm{P}$が$\mathrm{O}$に到達するのは$t=\boxed{\text{ア}}$のときである．以下，$0<t<\boxed{\text{ア}}$で考える．

(1)　点$\mathrm{P}$と$x$座標が等しい$x$軸上の点を${\mathrm{P}}^{\prime }\text{，}$点$\mathrm{Q}$と$x$座標が等しい$x$軸上の点を${\mathrm{Q}}^{\prime }$とおく．$▵\mathrm{OP}{\mathrm{P}}^{\prime }$と$▵\mathrm{OQ}{\mathrm{Q}}^{\prime }$の面積の和$S$を$t$で表せば

$S=\boxed{\text{イ}}{t}^2-\boxed{\text{ウエ}}t+\boxed{\text{オカ}}$

となる．これより$0<t<\boxed{\text{ア}}$においては，$t={\displaystyle \frac{\boxed{\text{キ}}}{\boxed{\text{ク}}}}$で$S$は最小値${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケコサ}}}{\boxed{\text{シ}}}}$をとる．

　次に，$a$を$0<a<\boxed{\text{ア}}-1$を満たす定数とする．以下，$a\leqq t\leqq a+1$における$S$の最小・最大について考える．

(ⅰ)　$S$が$t={\displaystyle \frac{\boxed{\text{キ}}}{\boxed{\text{ク}}}}$で最小となるような$a$の値の範囲は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ス}}}{\boxed{\text{セ}}}}\leqq a\leqq {\displaystyle \frac{\boxed{\text{ソ}}}{\boxed{\text{タ}}}}$である．

(ⅱ)　$S$が$t=a$で最大となるような$a$の値の範囲は$0<a\leqq {\displaystyle \frac{\boxed{\text{チ}}}{\boxed{\text{ツテ}}}}$である．

(2)　$3$点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$を通る$2$次関数のグラフが関数$y=2x^2$のグラフを平行移動したものになるのは，$t={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ト}}}{\boxed{\text{ナ}}}}$のときであり，$x$軸方向に${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ニヌ}}}{\boxed{\text{ネ}}}}\text{，}$$y$軸方向に${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ノハヒ}}}{\boxed{\text{フ}}}}$だけ平行移動すればよい．

【３】　$▵\mathrm{ABC}$において$\mathrm{AB}=6\text{，}$$\mathrm{BC}=2\sqrt{7}\text{，}$$\mathrm{CA}=4$とする．$\angle \mathrm{A}$の二等分線と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{D}\text{，}$$\angle \mathrm{A}$の二等分線と$▵\mathrm{ABC}$の外接円との点$\mathrm{A}$と異なる交点を$\mathrm{E}$とする．辺$\mathrm{AC}$の延長と，$2$点$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{E}$を通る直線の交点を$\mathrm{P}$とする．

(1)　$\cos \angle \mathrm{ABC}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}\sqrt{\boxed{\text{イ}}}}{\boxed{\text{ウ}}}}$である．また，$\cos \angle \mathrm{BAC}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{エ}}}{\boxed{\text{オ}}}}$であるから，$\angle \mathrm{BAC}=\boxed{\text{カキ}}\mathrm{°}$である．

(2)　点$\mathrm{E}$から辺$\mathrm{BC}$に引いた垂線と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{H}$とすると，$\angle \mathrm{ECH}=\boxed{\text{クケ}}\mathrm{°}\text{，}$$\angle \mathrm{EBH}=\boxed{\text{コサ}}\mathrm{°}$であるから，$\mathrm{HC}=\sqrt{\boxed{\text{シ}}}$である．したがって，$\mathrm{CE}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ス}}\sqrt{\boxed{\text{セソ}}}}{\boxed{\text{タ}}}}$である．

(3)　$▵\mathrm{APB}$において

$\angle \mathrm{APB}=180\mathrm{°}-\angle \mathrm{BAP}-(\angle \mathrm{CBP}+\angle \mathrm{ABC})$$=\boxed{\text{チツ}}\mathrm{°}-\angle \mathrm{ABC}$

である．したがって，$\sin \angle \mathrm{APB}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{テ}}\sqrt{\boxed{\text{ト}}}}{\boxed{\text{ナ}}}}$である．

(4)　$▵\mathrm{ECP}$において，$\sin \angle \mathrm{CEP}={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{ニ}}}}{\boxed{\text{ヌ}}}}$であるから，$\mathrm{CP}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ネ}}}{\boxed{\text{ノ}}}}$である．

【４】　$a\text{，}$$b$は$a>0\text{，}$$b\leqq 0$である定数とし，$t$の$2$次方程式

$t^2+4at+b=0$$\cdots \text{①}$

を考える．方程式$\text{①}$を${(t+\boxed{\text{ア}}a)}^2=\boxed{\text{イ}}{a}^2-b$と書き直す．$b\leqq 0$であるから，方程式$\text{①}$の実数解は

$t=\boxed{\text{ウエ}}a\pm \sqrt{\boxed{\text{オ}}{a}^2-b}$

である．

　方程式$\text{①}$と同じ$a\text{，}$$b$に対して，$x$の方程式

${(x-2)}^2+4a|x-2|+b=0$$\cdots \text{②}$

を考える．

(1)　$b=0$の場合，方程式$\text{①}$の解は$t=\boxed{\text{カ}}\text{，}$$\boxed{\text{キク}}a$である．このとき，方程式$\text{②}$の実数解の個数は$\boxed{\text{ケ}}$個である．

(2)　$b<0$の場合，方程式$\text{①}$の$0$以上である実数解は

$t=\boxed{\text{ウエ}}a+\sqrt{\boxed{\text{オ}}{a}^2-b}$

である．このとき，方程式$\text{②}$の実数解の個数は$\boxed{\text{コ}}$個である．

【１】

〔２〕　三角形に関する条件$\mathrm{p}\text{，}$$\mathrm{q}\text{，}$$\mathrm{r}$を次のように定める．

$\mathrm{p}$：三つの内角がすべて異なる

$\mathrm{q}$：直角三角形ではない

$\mathrm{r}$：$45\mathrm{°}$の内角は一つもない

条件$\mathrm{p}$の否定を$\bar{\mathrm{p}}$で表し，同様に$\bar{q}\text{，}$$\bar{r}$はそれぞれ条件$\mathrm{q}\text{，}$$\mathrm{r}$の否定を表すものとする．

(1)　命題「$\mathrm{r}⟹(\mathrm{p}\text{または}\mathrm{q})$」の対偶は「$\boxed{\text{ク}}⟹\bar{\mathrm{r}}$」である．

　$\boxed{\text{ク}}$に当てはまるものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{3}}$のうちから一つ選べ．

• $\overline{)\text{0}}$　$(\mathrm{p}\text{かつ}\mathrm{q})$
• $\overline{)\text{1}}$　$(\bar{\mathrm{p}}\text{かつ}\bar{\mathrm{q}})$
• $\overline{)\text{2}}$　$(\bar{\mathrm{p}}\text{または}\mathrm{q})$
• $\overline{)\text{3}}$　$(\bar{\mathrm{p}}\text{または}\bar{\mathrm{q}})$

(2)　次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{4}}$のうち，命題「$(\mathrm{p}\text{または}\mathrm{q})⟹\mathrm{r}$」に対する反例となっている三角形は$\boxed{\text{ケ}}$と$\boxed{\text{コ}}$である．

　$\boxed{\text{ケ}}$と$\boxed{\text{コ}}$に当てはまるものを，$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{4}}$のうちから一つずつ選べ．ただし，$\boxed{\text{ケ}}$と$\boxed{\text{コ}}$の解答の順序は問わない．

$\overline{)\text{0}}$　直角二等辺三角形

$\overline{)\text{1}}$　内角が$30\mathrm{°}\text{，}$$45\mathrm{°}\text{，}$$105\mathrm{°}$の三角形

$\overline{)\text{2}}$　正三角形

$\overline{)\text{3}}$　三辺の長さが$3\text{，}$$4\text{，}$$5$の三角形

$\overline{)\text{4}}$　頂角が$45\mathrm{°}$の二等辺三角形

(3)　$\mathrm{r}$は$(\mathrm{p}\text{または}\mathrm{q})$であるための$\boxed{\text{サ}}$．

　$\boxed{\text{サ}}$に当てはまるものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{3}}$のうちから一つ選べ．

$\overline{)\text{0}}$　必要十分条件である

$\overline{)\text{1}}$　必要条件であるが，十分条件ではない

$\overline{)\text{2}}$　十分条件であるが，必要条件ではない

$\overline{)\text{3}}$　必要条件でも十分条件でもない

【３】　点$\mathrm{O}$を中心とする半径$3$の円$O$と，点$\mathrm{O}$を通り，点$\mathrm{P}$を中心とする半径$1$の円$P$を考える．円$P$の点$\mathrm{O}$における接線と円$O$との交点を$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$とする．また，円$O$の周上に，点$\mathrm{B}$と異なる点$\mathrm{C}$を，弦$\mathrm{AC}$が円$P$に接するようにとる．弦$\mathrm{AC}$と円$P$の接点を$\mathrm{D}$とする．このとき

$\mathrm{AP}=\sqrt{\boxed{\text{アイ}}}\text{，}$$\mathrm{OD}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}\sqrt{\boxed{\text{エオ}}}}{\boxed{\text{カ}}}}$

である．さらに，$\cos \angle \mathrm{OAD}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{キ}}}{\boxed{\text{ク}}}}$であり，$\mathrm{AC}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケコ}}}{\boxed{\text{サ}}}}$である．

　$▵\mathrm{ABC}$の面積は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{シスセ}}}{\boxed{\text{ソタ}}}}$であり，$▵\mathrm{ABC}$の内接円の半径は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{チ}}}{\boxed{\text{ツ}}}}$である．

(1)　円$O$の周上に，点$\mathrm{E}$を線分$\mathrm{CE}$が円$O$の直径となるようにとる．$▵\mathrm{ABC}$の内接円の中心を$\mathrm{Q}$とし，$▵\mathrm{CEA}$の内接円の中心を$\mathrm{R}$とする．このとき，$\mathrm{QR}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{テト}}}{\boxed{\text{ナ}}}}$である．したがって，内接円$Q$と内接円$R$は$\boxed{\text{ニ}}$．

　$\boxed{\text{ニ}}$に当てはまるものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{3}}$のうちから一つ選べ．

• $\overline{)\text{0}}$　内接する
• $\overline{)\text{1}}$　異なる$2$点で交わる
• $\overline{)\text{2}}$　外接する
• $\overline{)\text{3}}$　共有点を持たない

(2)　$\mathrm{AQ}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヌ}}\sqrt{\boxed{\text{ネノ}}}}{\boxed{\text{ハ}}}}$であるから，$\mathrm{PQ}={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{ヒフ}}}}{\boxed{\text{ヘ}}}}$となる．したがって，$\boxed{\text{ホ}}$．

　$\boxed{\text{ホ}}$に当てはまるものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{3}}$のうちから一つ選べ．

$\overline{)\text{0}}$　点$\mathrm{P}$は内接円$Q$の周上にある

$\overline{)\text{1}}$　点$\mathrm{Q}$は円$P$の周上にある

$\overline{)\text{2}}$　点$\mathrm{P}$は内接円$Q$の内部にあり，点$\mathrm{Q}$は円$P$の内部にある

$\overline{)\text{3}}$　点$\mathrm{P}$は内接円$Q$の内部にあり，点$\mathrm{Q}$は円$P$の外部にある

【４】(1)　$1$から$4$までの数字を，重複を許して並べてできる$4\stackrel{\text{けた}}{\text{桁}}$の自然数は，全部で$\boxed{\text{アイウ}}$個ある．

(2)　(1)の$\boxed{\text{アイウ}}$個の自然数のうちで，$1$から$4$までの数字を重複なく使ってできるものは$\boxed{\text{エオ}}$個ある．

(3)　(1)の$\boxed{\text{アイウ}}$個の自然数のうちで，$1331$のように，異なる二つの数字を$2$回ずつ使ってできるものの個数を，次の考え方に従って求めよう．

(ⅰ)　$1$から$4$までの数字から異なる二つを選ぶ．この選び方は$\boxed{\text{カ}}$通りある．

(ⅱ)　(ⅰ)で選んだ数字のうち小さい方を，一・十・百・千の位のうち，どの$2$箇所に置くか決める．置く$2$箇所の決め方は$\boxed{\text{キ}}$通りある．小さい方の数字を置く場所を決めると，大きい方の数字を置く場所は残りの$2$箇所に決まる．

(ⅲ)　(ⅰ)と(ⅱ)より，求める個数は$\boxed{\text{クケ}}$個である．

(4)　(1)の$\boxed{\text{アイウ}}$個の自然数を，それぞれ別のカードに書く．できた$\boxed{\text{アイウ}}$枚のカードから$1$枚引き，それに書かれた数の四つの数字に応じて，得点を次のように定める．

(ⅰ) 　得点が$9$点となる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{コ}}}{\boxed{\text{サシ}}}}\text{，}$得点が$3$点となる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ス}}}{\boxed{\text{セソ}}}}$である．

(ⅱ)　得点が$2$点となる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{タ}}}{\boxed{\text{チツ}}}}\text{，}$得点が$1$点となる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{テ}}}{\boxed{\text{トナ}}}}$である．

(ⅲ)　得点の期待値は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ニ}}}{\boxed{\text{ヌ}}}}$点である．