2013　大学入試センター試験　追試験　数学I／数学IAMathJax

【１】

〔１〕　$a\text{，}$$b\text{，}$$c$を定数とし，$x$についての整式$P\text{，}$$Q$を

$P=a{(x+1)}^3+b{(x+1)}^2+c(x+1)$

$Q=a{x}^3+b{x}^2+cx$

とする．$P-Q$を$x$について整理すると

$P-Q=\boxed{\text{ア}}a{x}^2$$+(\boxed{\text{イ}}a+\boxed{\text{ウ}}b)x$$+(a+b+c)$

となる．

$\boxed{\text{ア}}a=1\text{，}$$\boxed{\text{イ}}a+\boxed{\text{ウ}}b=0\text{，}$$a+b+c=0$

となる$a\text{，}$$b\text{，}$$c$は

$a={\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{ア}}}}\text{，}$$b={\displaystyle \frac{\boxed{\text{エオ}}}{\boxed{\text{カ}}}}\text{，}$$c={\displaystyle \frac{\boxed{\text{キ}}}{\boxed{\text{ク}}}}$

である．このとき

$P-Q=x^2\text{，}$$P^2-Q^2={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケ}}}{\boxed{\text{コ}}}}{x}^5+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{サ}}}{\boxed{\text{シ}}}}{x}^3$

である．

【１】

〔２〕　$a$を定数とし，$x$についての連立不等式

$\{\begin{array}{ll}2x^2-3x-35>0& \cdots \text{①}\\ a{x}^2-a(5a+1)x+2a^2(3a+1)<0& \cdots \text{②}\end{array}$

を考える．不等式$\text{①}$の解は

$x<{\displaystyle \frac{\boxed{\text{スセ}}}{\boxed{\text{ソ}}}}\text{，}$$\boxed{\text{タ}}<x$

であり，不等式$\text{②}$の左辺を因数分解すると

$a(x-\boxed{\text{チ}}a)(x-\boxed{\text{ツ}}a-\boxed{\text{テ}})$

となる．

　これより，この連立不等式を満たす実数$x$が存在するような$a$の値の範囲は

$a<\boxed{\text{ト}}\text{，}$${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ナ}}}{\boxed{\text{ニ}}}}<a$

である．この範囲の中の最小の自然数は$\boxed{\text{ヌ}}$であり，$a=\boxed{\text{ヌ}}$のとき，上の連立不等式の解は

$\boxed{\text{ネ}}<x<\boxed{\text{ノ}}$

である．

【２】　$b$を定数とするとき，$x$の$2$次関数

$y=x^2-2bx-{\displaystyle \frac{4}{3}}b+{\displaystyle \frac{5}{9}}$$\cdots \text{①}$

のグラフの頂点の座標は

$(b,\boxed{\text{ア}}{b}^2-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{イ}}}{\boxed{\text{ウ}}}}b+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{エ}}}{\boxed{\text{オ}}}})$

である．

(1)　$a\text{，}$$c$を定数とする．$\text{①}$のグラフが，関数$y=a{x}^2-2x+c$のグラフと原点に関して対称となるのは，$a=\boxed{\text{カキ}}\text{，}$$b=\boxed{\text{ク}}\text{，}$$c={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケ}}}{\boxed{\text{コ}}}}$のときである．また$b=\boxed{\text{ク}}$のとき，$\text{①}$のグラフと，関数$y=x(x+4)$のグラフを$x$軸方向に$s\text{，}$$y$軸方向に$t$だけ平行移動したグラフとが一致するのは

$s=\boxed{\text{サ}}\text{，}$$t={\displaystyle \frac{\boxed{\text{シス}}}{\boxed{\text{セ}}}}$

のときである．

(2)　下の，$\boxed{\text{ナ}}\text{，}$$\boxed{\text{ハ}}\text{，}$$\boxed{\text{ヒ}}$には，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{4}}$のうちから当てはまるものを一つずつ選べ．ただし，同じものを繰り返し選んでもよい．

• $\overline{)\text{0}}$　$>$
• $\overline{)\text{1}}$　$<$
• $\overline{)\text{2}}$　$\geqq$
• $\overline{)\text{3}}$　$\leqq$
• $\overline{)\text{4}}$　$=$

　$0\leqq x\leqq 1$の範囲における関数$\text{①}$の値の最小値を$m$とする．

$b<0$のとき$m=-{\displaystyle \frac{4}{3}}b+{\displaystyle \frac{5}{9}}$

$0\leqq b\leqq 1$のとき$m=\boxed{\text{ア}}{b}^2-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{イ}}}{\boxed{\text{ウ}}}}b+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{エ}}}{\boxed{\text{オ}}}}$

$b>1$のとき$m=-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ソタ}}}{\boxed{\text{チ}}}}b+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ツテ}}}{\boxed{\text{ト}}}}$

である．したがって$m<0$となる$b$の値の範囲は

$b\boxed{\text{ナ}}{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ニ}}}{\boxed{\text{ヌ}}}}$

である．

　また，$0\leqq x\leqq 1$の範囲で$\text{①}$のグラフと$x$軸が異なる$2$点で交わる$b$の値の範囲は

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ネ}}}{\boxed{\text{ノ}}}}\boxed{\text{ハ}}b\boxed{\text{ヒ}}{\displaystyle \frac{\boxed{\text{フ}}}{\boxed{\text{ヘホ}}}}$

である．

【３】　$▵\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=\sqrt{3}\text{，}$$\mathrm{BC}=5\text{，}$$\mathrm{CA}=3\sqrt{2}$とする．このとき

$\cos \angle \mathrm{ABC}={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{ア}}}}{\boxed{\text{イ}}}}\text{，}$$\sin \angle \mathrm{ABC}={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{ウ}}}}{\boxed{\text{エ}}}}$

であり，$▵\mathrm{ABC}$の外接円$O$の半径は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}}\sqrt{\boxed{\text{カ}}}}{\boxed{\text{キ}}}}$である．点$\mathrm{A}$から辺$\mathrm{BC}$へ垂線を引き，垂線と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{H}$とすると，$\mathrm{BH}=\boxed{\text{ク}}\text{，}$$\mathrm{AH}=\sqrt{\boxed{\text{ケ}}}$である．また，直線$\mathrm{AH}$と円$O$の交点のうち点$\mathrm{A}$と異なる点を$\mathrm{L}$とすると，$▵\mathrm{ABH}$と$▵\mathrm{CLH}$に着目して，$\mathrm{HL}=\boxed{\text{コ}}\sqrt{\boxed{\text{サ}}}$となる．

(1)　下の$\boxed{\text{ソ}}$と$\boxed{\text{タ}}$には，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{5}}$のうちから当てはまるものを一つずつ選べ．ただし，同じものを繰り返し選んでもよい．

• $\overline{)\text{0}}$　$\angle \mathrm{BAC}$
• $\overline{)\text{1}}$　$\angle \mathrm{BAL}$
• $\overline{)\text{2}}$　$\angle \mathrm{HAC}$
• $\overline{)\text{3}}$　$\angle \mathrm{HCL}$
• $\overline{)\text{4}}$　$\angle \mathrm{ACL}$
• $\overline{)\text{5}}$　$\angle \mathrm{ACB}$

　$\mathrm{AL}=\boxed{\text{シ}}\sqrt{\boxed{\text{ス}}}$であり，${\displaystyle \frac{\mathrm{AL}}{\mathrm{AC}}}=\boxed{\text{セ}}$となるから，$\angle \mathrm{ALC}=\boxed{\text{ソ}}$となる．ここで，辺$\mathrm{AB}$の延長と線分$\mathrm{CL}$の延長との交点を$\mathrm{D}$とすると，$▵\mathrm{ABC}$と$▵\mathrm{ACD}$に着目して，$\angle \mathrm{ADC}=\boxed{\text{タ}}$となる．

(2)　$▵\mathrm{BCD}$の外接円$O^{\prime }$の半径は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{チツ}}}{\boxed{\text{テ}}}}$となる．辺$\mathrm{BC}$は円$O$と円$O^{\prime }$の共通の弦であり，$\angle \mathrm{BAC}$は鈍角であるから，二つの円の中心間の距離$\mathrm{O}{\mathrm{O}}^{\prime }$は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ト}}\sqrt{\boxed{\text{ナ}}}}{\boxed{\text{ニ}}}}$となる．

【４】　$a$を正の定数とし，$x$についての整式$A$を

$A=x^3-2x^2-(4a^2+2a+3)x+6a(2a+1)$

とする．

(1)　整式$A$は

$\begin{array}{ll}A& =x^3-2x^2-3x-(\boxed{\text{ア}}{a}^2+\boxed{\text{イ}}a)x+6a(2a+1)\\ & =x(x^2-2x-3)-2a(\boxed{\text{ウ}}a+1)(x-\boxed{\text{エ}})\end{array}$

となるから

$A=(x-\boxed{\text{オ}})(x-\boxed{\text{カ}}a)(x+\boxed{\text{キ}}a+\boxed{\text{ク}})$

と$1$次式の積に因数分解される．

　以下$x=\boxed{\text{オ}}$の範囲で，不等式$A\geqq 0$を満たす整数$x$の個数を$N$とする．

(2)　$a=1$のとき，$N=\boxed{\text{ケ}}$である．

(3)　$N=\boxed{\text{ケ}}$となる正の定数$a$の値の範囲は

$\boxed{\text{コ}}\leqq a<{\displaystyle \frac{\boxed{\text{サ}}}{\boxed{\text{シ}}}}$

である．

【１】

〔２〕　$▵\mathrm{ABC}$について次の条件$\mathrm{p}\text{，}$$\mathrm{q}\text{，}$$\mathrm{r}\text{，}$$\mathrm{s}$を考える．ただし$\angle \mathrm{A}\text{，}$$\angle \mathrm{B}\text{，}$$\angle \mathrm{C}$の大きさをそれぞれ$A\text{，}$$B\text{，}$$C$で表すものとする．

$\mathrm{p}$：$A<90\mathrm{°}$

$\mathrm{q}$：$B>45\mathrm{°}$または$C>45\mathrm{°}$

$\mathrm{r}$：$A<90\mathrm{°}$かつ$B<90\mathrm{°}$

$\mathrm{s}$：$\cos A\cos B>0$

(1)　命題「$\mathrm{p}⟹\mathrm{q}$」の対偶は「$\boxed{\text{ス}}⟹\boxed{\text{セ}}$」である．$\boxed{\text{ス}}$と$\boxed{\text{セ}}$に当てはまるものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{7}}$のうちから一つずつ選べ．

• $\overline{)\text{0}}$　$A\geqq 90\mathrm{°}$
• $\overline{)\text{1}}$　$A>90\mathrm{°}$
• $\overline{)\text{2}}$　$A\leqq 90\mathrm{°}$
• $\overline{)\text{3}}$　$A<90\mathrm{°}$

• $\overline{)\text{4}}$　$B<45\mathrm{°}$または$C<45\mathrm{°}$
• $\overline{)\text{5}}$　$B\leqq 45\mathrm{°}$かつ$C\leqq 45\mathrm{°}$
• $\overline{)\text{6}}$　$B\leqq 45\mathrm{°}$または$C\leqq 45\mathrm{°}$
• $\overline{)\text{7}}$　$B>45\mathrm{°}$かつ$C>45\mathrm{°}$

(2)　次の$\boxed{\text{ソ}}$と$\boxed{\text{タ}}$に当てはまるものを，下の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{3}}$のうちから一つずつ選べ．ただし，同じものを繰り返し選んでもよい．

$\mathrm{p}$は$\mathrm{q}$であるための$\boxed{\text{ソ}}$．

$\mathrm{r}$は$\mathrm{s}$であるための$\boxed{\text{タ}}$．

$\overline{)\text{0}}$　必要十分条件である

$\overline{)\text{1}}$　必要条件であるが，十分条件ではない

$\overline{)\text{2}}$　十分条件であるが，必要条件ではない

$\overline{)\text{3}}$　必要条件でも十分条件でもない

【３】　$▵\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=2\sqrt{3}\text{，}$$\mathrm{BC}=\sqrt{6}\text{，}$$\mathrm{CA}=3$とする．このとき

$\cos \angle \mathrm{ACB}={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{ア}}}}{\boxed{\text{イウ}}}}\text{，}$$\sin \angle \mathrm{ACB}={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{エオカ}}}}{\boxed{\text{キク}}}}$

であり，$▵\mathrm{ABC}$の外接円$O$の半径は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケ}}\sqrt{\boxed{\text{コサ}}}}{\boxed{\text{シス}}}}$である．

　円$O$の点$\mathrm{B}$における接線と点$\mathrm{C}$における接線の交点を$\mathrm{P}$とし，線分$\mathrm{AP}$と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$とする．また，点$\mathrm{A}$を通り辺$\mathrm{BC}$と平行な直線と，直線$\mathrm{PB}\text{，}\mathrm{PC}$との交点をそれぞれ$\mathrm{X}\text{，}$$\mathrm{Y}$とする．

(1)　下の$\boxed{\text{セ}}\text{〜}$$\boxed{\text{タ}}$には，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{6}}$のうちから当てはまるものを一つずつ選べ．ただし，同じものを繰り返し選んでもよい．

• $\overline{)\text{0}}$　$\angle \mathrm{BAC}$
• $\overline{)\text{1}}$　$\angle \mathrm{ABC}$
• $\overline{)\text{2}}$　$\angle \mathrm{ACB}$
• $\overline{)\text{3}}$　$90\mathrm{°}$
• $\overline{)\text{4}}$　$\angle \mathrm{BPC}$
• $\overline{)\text{5}}$　$\angle \mathrm{BAD}$
• $\overline{)\text{6}}$　$\angle \mathrm{CAD}$

　$\mathrm{XY}$と$\mathrm{BC}$は平行であるから，$\angle \mathrm{XAB}=\boxed{\text{セ}}$である．また，$\mathrm{XP}$が円$O$に接するので，$\angle \mathrm{XBA}=\boxed{\text{ソ}}$である．したがって，であり，$\mathrm{AX}=\boxed{\text{チ}}\sqrt{\boxed{\text{ツ}}}$となる．

(2)　(1)と同様に，$\mathrm{AY}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{テ}}\sqrt{\boxed{\text{ト}}}}{\boxed{\text{ナ}}}}$となる．$\mathrm{XY}$と$\mathrm{BC}$は平行であるから，${\displaystyle \frac{\mathrm{DC}}{\mathrm{BD}}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ニ}}}{\boxed{\text{ヌ}}}}$である．よって，$\mathrm{DC}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ネ}}\sqrt{\boxed{\text{ノ}}}}{\boxed{\text{ハ}}}}$となる．これより，$\mathrm{AD}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヒフ}}\sqrt{\boxed{\text{ヘ}}}}{\boxed{\text{ホ}}}}$となる．

【４】　袋の中に青玉$4$個，黄玉$2$個，黒玉$1$個，白玉$1$個，緑玉$1$個の合計$9$個の玉がはいっている．青玉には$1$から$4$までの数字が一つずつ，黄玉には数字の$1$と$2$が一つずつ，黒玉と白玉，緑玉のそれぞれには数字の$1$が書かれている（右図参照）．ただし，例えば青1は，数字の$1$が書かれた青玉を表す．

　この袋から同時に$4$個の玉を取り出す．このとき，$4$個の玉の取り出し方は$\boxed{\text{アイウ}}$通りある．取り出した$4$個の玉の数字がすべて異なる取り出し方は$\boxed{\text{エオ}}$通りで，取り出した$4$個の玉の色がすべて異なる取り出し方は$\boxed{\text{カキ}}$通りである．また，取り出した$4$個の玉の中に，青玉が一つだけある取り出し方は$\boxed{\text{クケ}}$通りである．

　次のように得点を定める．

　例えば，取り出された$4$個の玉が，青3黄2黒1白1のとき，得点は$3$点であり，青2黄2白1緑1のときは，得点は$4$点である．また，青1青3黒1緑1のときは，得点は$0$点である．

(1)　得点が$2$点となる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{コ}}}{\boxed{\text{サシ}}}}$で，得点が$3$点となる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ス}}}{\boxed{\text{セソ}}}}$である．また，得点が$4$点となる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{タチ}}}{\boxed{\text{ツテ}}}}$である．

(2)　得点の期待値は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{トナ}}}{\boxed{\text{ニヌ}}}}$点である．