2013 大学入試センター試験 追試験験 数学II・数学IIBMathJax

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2013 大学入試センター試験 追試験

数学II・数学IIB共通問題

配点16点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【1】

[1] 実数 x y x 2+y2 =1 y 0 を満たすとき, z=2 x2+4 xy- y2 を最大にする x y の値とそのときの z の値を求めよう.

  x2+ y2= 1 y 0 により, 0θ π の範囲の θ を用いて, x=cos θ y= sinθ とおくことができる. z θ を用いて表せば

z = 1 + cos2 θ+ sin 2θ 2 = 1 + 2 sin( 2θ+ α)

となる.ただし, α は,鋭角 ( 0<α< π 2 ) で, sinα = cosα = を満たすものとする.

  2θ+ α のとり得る値の範囲が α 2θ +α2 π+α であることに注意すると, により, 2θ +α= π のとき, z は最大値 をとることがわかる.

  z が最大値 をとるとき, 2θ = π -α であるから, cos2 θ= となる. に当てはまるものを,次の 0 3 のうちから一つ選べ.

 また, θ= 12 ( π -α ) 0 <α< π 2 により, cosθ >0 である.したがって, z が最大値 をとるとき

x=cos θ= y=sin θ=

であることがわかる.

2013 大学入試センター試験 追試験

数学II・数学IIB共通問題

配点14点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【1】

[2] 実数 a に対して,座標平面上で,不等式

x2- 2a x+y2 -4 y+a2 0

の表す領域を A とし,連立不等式

2x+ y24 x0 y0

の表す領域を B とする.領域 A と領域 B が共通部分をもつとき,その共通部分を C とする.共通部分 C a の値によりどのように変化するかを調べよう.

(1) 不等式

(x - ) 2+ (y- ) 2

と変形できるので,領域 A は,点 ( , ) を中心とする半径 の円とその内部である.

(2) 点 ( , ) を中心とする半径 の円と直線 2 x+y =24 が接する場合, に当てはまるものを,次の 0 3 のうちから一つ選べ.

0  領域 A と領域 B は共通部分を持たない

1  共通部分 C は,領域 A と一致するか,または 1 点のみからなる

2  共通部分 C は,領域 B と一致するか,または 2 点のみからなる

3  共通部分 C は,領域 A と領域 B の和集合に等しい

(3) 領域 A と領域 B が共通部分をもつような実数 a のとり得る値の範囲は

ツテ a トナ +

である.

 共通部分 C が領域 A と一致するような実数 a のとり得る値の範囲は

a トナ -

である.

 共通部分 C の面積が,領域 A の面積の半分となるのは

a= ノハ

のときである.

2013 大学入試センター試験 追試験

数学II・数学IIB共通

配点30点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【2】 座標平面上で,放物線 y =x2 C とし, 2 P ( a,a2 ) Q ( b,b2 ) における C の接線をそれぞれ l m とする.ただし, a>0 であり, l m は垂直であるとする.

  l m は垂直であるから,関係式 a b=-1 が成り立つ.したがって, l m の交点 R の座標は, a を用いて

( 1 ( a- a ), - )

と表される.

 点 P を通り l に垂直な直線を l とし,点 Q を通り m に垂直な直線を m とする. l m の交点 T の座標は, a を用いて

( 1 (a- a) , a2 +1 コサ a2 + 1 )

と表される.

  a の値が変化するとき,点 T の軌跡は放物線

y= x 2+

である.

 四角形 PTQR の面積を S 1 とすると

S1= 1 (a +1 a)

が成り立つ.

 一方,放物線 C と直線 PQ で囲まれた図形の面積は

1 (a+ 1 a)

である.

 したがって,放物線 C と接線 l m で囲まれた図形の面積を S 2 とすると

S2= S 1

が成り立つ.また,相加平均と相乗平均の関係を利用して, S2 a = 1 で最小値 1 ノハ をとることがわかる.

2013 大学入試センター試験 追試験

数学II

配点20点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【3】  2log 2y =( log8 2x )2 のとき, z= xy を最大にする x y の値とそのときの z の値を求めよう.

 まず, a=log8 2 x とおくと, 2x= である. 2x = について, 2 を底とする両辺の対数をとることによって, a= log2 x+ であることがわかる.よって

log8 2x= log2 x+

である.

 次に, z= xy について, 2 を底とする両辺の対数をとると, となる. に当てはまるものを,次の 0 3 のうちから一つ選べ.

0   log2 z=log2 x+ log2 y 1   log2 z=log2 x- log2 y
2   log2 z=log2 x × log2 y 3   log2 z= log2 xlog 2y

  2log2 y= (log 82 x) 2 により, t=log 2x とおいて, log2 z t を用いて表すと

log2 z=- 1 カキ (t - ) 2+

となる.

  x のとり得る値の範囲は であるから, t=log 2x により, t のとり得る値の範囲は である. に当てはまるものを,次の 0 3 のうちから一つずつ選べ.ただし,同じものを選んでもよい.

 したがって, により, t= のとき, log2 z は最大値 をとることがわかる.また, t= のとき, 2log 2y= ( log8 2x )2 により, log2 y= である.

 以上のことから, z を最大にする x y の値は, x= ツテト y= ナニ であり,そのときの z の値は z = である.

2013 大学入試センター試験 追試験

数学II

配点20点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【4】(1)  3 次方程式

x( x+1) (x +2) =12 3

の実数解は であり,虚数解は イウ ± i である.

(2)  c を実数とする. x についての 3 次方程式

x( x+c) (x +2c )=( 1+c) (1 +2c )

の解が,すべて 0 以上の実数となるような c のとり得る値の範囲を求めよう.

 方程式 c の値によらず x = を解にもつので

(x- ) { x2+ ( カキ + ) x +(c +1) (2 c+1) }=0

と表すことができる. x についての 2 次方程式

x2+ ( カキ + ) x+(c +1) (2 c+1 )=0

の解を α β とし,判別式を D とする.

 このとき,方程式 の解がすべて 0 以上の実数であるための条件は, D0 であり,かつ が成り立つことである. に当てはまるものを,次の 0 3 のうちから一つ選べ.

  c についての不等式 D 0 を解くと

c - + c

となる.

 また,解と係数の関係により

α+β =( カキ + ) α β=( c+1) (2 c+1 )

であるから, c について解くと

c スセ ソタ c ツテ

が得られる.

 したがって,方程式 の解がすべて 0 以上の実数となるような c のとり得る値の範囲は

c c

である. に当てはまるものを,次の 0 4 のうちから一つ選べ.

0   -
1   +
2   スセ 3   ソタ 4   ツテ

2013 大学入試センター試験 追試験

数学IIB

選択問題

配点20点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【3】 数列 { an } a1= 3 で公差が 2 の等差数列とする.

(1) 数列 { an } の一般項は, an= n+ であり,

k=1 n 3 k+ = ウエ ( n-1 ) n= 1 2 3

となる.

(2) 自然数 n に対して, bn= -2cos ( a n3 π)+2 とし, cn= bn+ n とする.たとえば,数列 { bn } {c n} の初項から第 6 項までをそれぞれ求めると

b1= b 2= 1 b3 = b4= b5=1 b6=1

c1= c2 =3 c3= c4 = c5=6 c6=7

である.

  m 3 で割り切れる正の整数,つまり, m=3 6 9 であるとき

bm- 2= bm-1 = bm=

となり, cm- 2 c m-1 cm について

< <

が成り立つ. に当てはまるものを,次の 0 2 のうちから一つずつ選べ.

  3 で割り切れる正の整数 m に対して

k =1m ck

=( c1+ c2+ c3) +(c 4+c 5+c 6) + +( cm- 2+c m-1 +cm )

= (3+ + )+ (6+ 7+ )

++( + + )

= k=1 m (k+ )= m 2+ m

となる.

 さらに,自然数 n に対して, dn= b nn cn とする. cn= bn+ n に注意して d n を変形すると, 3 で割り切れる正の整数 m に対して

k =1m dk = k= 1m ( k- ck ) = k =1m k - k= 1m k+ =(1+ 1 ) -( 1m+1 + 1m+ ) = m ( m+ ) ( m+1) (m + )

が成り立つ.

2013 大学入試センター試験 追試験

数学IIB

選択問題

配点20点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【4】 四面体 OABC において, OA =a OB =b OC =c とおく. | a |= 2 | b |= 6 a b =9 a c= 4 cos BOC= 34 であるとする.

(1)  cosAOB = であり, sin AOB= である.また,三角形 OAB の面積は である.

(2)  x 1< x<8 を満たす実数とし, | c |= 2x であるとする.このとき,四面体 OABC の体積が最大となる x の値を求めよう.

 まず,三角形 OAB の面積は x の値によらず一定であるので,四面体 OABC の体積が最大となるためには三角形 OAB を底面としたときの四面体 OABC の高さが最大になればよいことに注意しよう.

 実数 s t に対して, OD =s a+ tb となるように点 D をとり, CD =n とおく. n =s a+ tb -c b c = x であるので, a n =4s +9t -4 b n= 9( s+4t -x) c n= s+ t x- x2 となる.

 以下では, | n | が,三角形 OAB を底面としたときの四面体 OABC の高さとなるように, a n b n とする.このとき

a n = b n =

である. により, s t x を用いて

s=- 1 ( x- タチ ) t= ( x-1)

と表される.さらに, | n | 2=( sa +t b- c ) n に注意して, | n | 2 x を用いて表すと

| n | 2=- (x 2- x+ ) =- (x - ) 2+ ネノ

となる. 1< <8 であるので, x= のとき, | n | は最大となり,四面体 OABC の体積は最大となる.

2013 大学入試センター試験 追試験

数学IIB

選択問題

配点20点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【5】 あるごみ焼却場では,ごみの焼却熱を利用して発電している.次の表は,ある年の 1 月から 10 月までの,この焼却場におけるごみの焼却量と発電量のデータをまとめたものである.焼却量を変量 x 発電量を変量 y で表す.ただし,表の数値はすべて正確な値であるとして解答せよ.

焼却量( x

(千トン)

発電量( y

(十万kWh)

x2 y2 xy
1 2 2 4 4 4
2 2 3 4 9 6
3 14 10 196 100 140
4 6 3 36 9 18
5 12 7 144 49 84
6 8 9 64 81 72
7 7 5 49 25 35
8 11 11 121 121 121
9 4 4 16 16 16
10 4 6 16 36 24
合 計 A 60 650 450 520
平均値 B 6.0    
分 散 C 9.00    

 以下,小数の形で解答する場合,指定された けた 数の一つ下の桁を四捨五入し,解答せよ.途中で割り切れた場合,指定された桁まで 0 にマークすること.

(1) 変量 x の合計 A の値は アイ (千トン),平均値 B . (千トン),分散 C の値は オカ . キク である.

(2) 変量 x と変量 y の相関図(散布図)として適切なものは であり,変量 x と変量 y の相関係数の値は . サシス である.ただし, については,当てはまるものを,次の 0 3 のうちから一つ選べ.

0 1
2013センター試験追試験数学IIB【5】の図 2013センター試験追試験数学IIB【5】の図
2 3
2013センター試験追試験数学IIB【5】の図 2013センター試験追試験数学IIB【5】の図

(3)  a を定数として,変量 z z =ax により定める. k 1 から 10 までの自然数として, k 月における変量 x y z の値をそれぞれ, xk yk zk と表す.たとえば, 2 月の各変量の値は, x2 =2 y 2=3 z2 =2a である.

 変量 y と変量 z の差の 2 乗の平均は

110 { (y 1-z1 )2 +( y2- z2 )2 ++ (y10 -z10 )2 }

である. zk= axk に代入したものを a の関数として

f( a) = 110 { (y 1-a x1 )2 +( y2- ax2 )2 ++ (y 10-a x10) 2}

とおく.このとき, f( a) が最小となるときの a の値を求めよう. f( a) は, a 2 次関数であって,最初にあげた表中の数値を利用することにより

f( a)= セソ ( a- ) 2+ 175

となる.したがって, a= のとき, f( a) は最小となる.

  f( a) が最小となる a を用いて

z= x

の関係式で定まる z を予測発電量とよぶことにする.たとえば, 10 月の予測発電量 z 10 . テト (十万kWh)である.

  1 月から 10 月までの各月の発電量と予測発電量の差について考えよう.発電量 y と予測発電量 z の差 y -z は, 10 月の . ニヌ (十万kWh)が最大であり, 月の - . ハヒ (十万kWh)が最小である.また, y-z のヒストグラムは である. に当てはまるものを,次の 0 3 のうちから一つ選べ.

0 1
2013センター試験追試験数学IIB【5】の図 2013センター試験追試験数学IIB【5】の図
2 3
2013センター試験追試験数学IIB【5】の図 2013センター試験追試験数学IIB【5】の図

2013 大学入試センター試験 追試験

数学IIB

選択問題

配点20点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【6】  0A 1 を満たす実数 A に対して, A の近似値を求めたい.そのために,関数 f (z )=z 2-A を用いて,次の(ⅰ)〜(ⅲ)の手順を考えよう.

(ⅰ) 自然数 N を与えて, Zk= kN k=1 2 N とおく.

(ⅱ)  f( Z1 ) f( Z2 ) f (ZN ) のうち 0 以下であるものの個数 M を求める.

(ⅲ)  MN A の近似値として出力する.

ただし, A M の値によっては,(ⅲ)において A の正確な値が出力されることもある.

 この手順で A の近似値を求める〔プログラム1〕を作成した.

〔プログラム1〕

(1) 〔プログラム1〕の に当てはまるものを,次の 0 5 のうちから一つ選べ.

に当てはまるものを,次の 0 5 のうちから一つ選べ.

に当てはまるものを,次の 0 5 のうちから一つ選べ.

 〔プログラム1〕を実行し,変数 A 0.5,変数 N 5 を入力したとき,180 行で出力される変数 Y の値は であり,また,変数 A 0.5 ,変数 N 10 を入力したとき,180 行で出力される変数 Y の値は である. に当てはまるものを,次の 0 7 のうちから一つずつ選べ.ただし,同じものを選んでもよい.

(2) 座標平面上で,連立不等式 x 2+y2 1 x 0 y0 の表す領域 C の面積の近似値を求めたい.そこで次の(ⅰ)〜(ⅲ)の手順を考えて,〔プログラム1〕を変更し〔プログラム2〕を作成した.

(ⅰ) 自然数 N を与えて, Xj= jN j=0 1 N とおき,〔プログラム1〕の方法で Yj= 1-X j2 j=0 1 N を求める.

(ⅱ)  (Xj ,0) ( Xj, Yj) ( Xj-1 ,Y j-1 ) (X j-1 ,0) j=1 2 N-1 を頂点とする台形の面積を S j とする.また, (X N,0 ) (X N-1 ,YN- 1) ( XN-1 ,0 ) を頂点とする三角形の面積を S n とする.

(ⅲ)  S1+ S2+ +S N C の面積の近似値として出力する.

〔プログラム2〕

ただし,〔プログラム2〕の行番号に下線が引かれた行は〔プログラム1〕から変更されていないことを表す.

 〔プログラム2〕の に当てはまるものを,次の 0 5 のうちから一つ選べ.

  に当てはまるものを,次の 0 5 のうちから一つ選べ.

  に当てはまるものを,次の 0 5 のうちから一つ選べ.

 〔プログラム2〕を実行し, N 2 を入力すると,210 行で出力される変数 S の値は である. に当てはまるものを,次の 0 5 のうちから一つ選べ.



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