2013　大学入試センター試験　試作問題験　数学I／数学IAMathJax

【１】　$20$人の生徒に対して，$100$点満点で行った国語，数学，英語の$3$教科のテストの得点のデータについて，それぞれの平均値，最小値，第$1$四分位数，中央値，第$3$四分位数，最大値を調べたところ，次の表のようになった．ここで表の数値は四捨五入されていない正確な値である．

　以下，小数の形で解答する場合，指定された$\stackrel{\text{けた}}{\text{桁}}$数の一つ下の桁を四捨五入し，解答せよ．途中で割り切れた場合，指定された桁まで$\overline{)\text{0}}$にマークすること．

(1)　国語，数学，英語の得点の箱ひげ図は，それぞれ，$\boxed{\text{ア}}\text{，}$$\boxed{\text{イ}}\text{，}$$\boxed{\text{ウ}}$である．$\boxed{\text{ア}}\text{，}$$\boxed{\text{イ}}\text{，}$$\boxed{\text{ウ}}$に当てはまるものを，それぞれ次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{5}}$のうちから一つずつ選べ．

(2)　この$20$人の生徒における数学の各得点を$0.5$倍して，さらに各得点に$50$点を加えると，平均値は，$\boxed{\text{エオ}}.\boxed{\text{カ}}$点となり，分散の値は，$82.8$となった．このことより，数学の分散の値は，$\boxed{\text{キクケ}}.\boxed{\text{コ}}$である．

　いま，国語と英語の間のおおよその相関係数の値を求めるために，国語の標準偏差の値と英語の標準偏差の値を小数第$2$位を四捨五入して小数第$1$位まで求めたところ，それぞれ，$18.0$点と$17.0$点であった．また，国語と英語の共分散の値を$1$の位まで求めると$205$であった．この結果を用いると，国語と英語の相関係数の値は，$0.\boxed{\text{サシ}}$と計算できる．

(3)　相関係数の一般的な性質に関する次の[A]から[C]の説明について，$\boxed{\text{ス}}$ということがいえる．$\boxed{\text{ス}}$に当てはまるものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{4}}$のうちから一つ選べ．

[A]　相関係数$r$は，常に$-1\leqq r\leqq 1$であり，すべてのデータが$1$つの曲線上に存在するときには，いつでも$r=1$または$r=-1$である．

[B]　もとのデータを定数倍しても，相関係数の値は変わらないが，もとのデータに定数を加えると相関係数の値は変わる．

[C]　$2$つの変量間の相関係数の値が高い場合は，これらの$2$つの変量には因果関係があるといえる．

• $\overline{)\text{0}}$　[A]だけが正しい
• $\overline{)\text{1}}$　[B]だけが正しい
• $\overline{)\text{2}}$　[C]だけが正しい
• $\overline{)\text{3}}$　[A]だけが間違っている
• $\overline{)\text{4}}$　$\overline{)\text{0}}\text{〜}\overline{)\text{4}}$のどれでもない

【２】(1)　不定方程式$8x+5y=k$の整数解について考える．

(ⅰ)　$k=1$とする．

　$x>-10\text{，}$$y>-10$を満たす解は

$(x,y)=(\boxed{\text{アイ}},\boxed{\text{ウエ}})\text{，}$$(\boxed{\text{オカ}},\boxed{\text{キ}})\text{，}$$(\boxed{\text{ク}},\boxed{\text{ケコ}})$

である．ただし，$\boxed{\text{アイ}}<\boxed{\text{オカ}}<\boxed{\text{ク}}$とする．

(ⅱ)　$k=17$とする．

　$0<x+y<100$を満たす整数は$\boxed{\text{サシ}}$個ある．

(2)　和が$600\text{，}$最小公倍数が$5772$である$2$つの自然数$a\text{，}$$b$$\text{（}a>b\text{）}$がある．

　$a\text{，}$$b$の最大公約数を$G$とし，$a=a^{\prime }G\text{，}$$b=b^{\prime }G$とすると，$a^{\prime }$と$b^{\prime }$の最大公約数は$\boxed{\text{ス}}$である．また，$a^{\prime }G+b^{\prime }G=600\text{，}$$a^{\prime }{b}^{\prime }G=5772$である．

　ここで，$600\text{，}$$5772$をそれぞれ素因数分解すると

$600=2^3\cdot 3\cdot 5^2$

$5772=2^{\boxed{\text{セ}}}\cdot \boxed{\text{ソ}}\cdot 13\cdot 37$

であるから$G=\boxed{\text{タチ}}$である．したがって，$a=\boxed{\text{ツテト}}\text{，}$$b=\boxed{\text{ナニヌ}}$である．

　このとき，$G=ma+nb$を満たす整数$m\text{，}$$n$の組のうち，$m$の値が正で最小であるものは，$m=\boxed{\text{ネ}}\text{，}$$n=\boxed{\text{ノハヒ}}$である．