2013　大学入試センター試験　試作問題　数学II・数学IIBMathJax

【１】　以下，小数の形で解答する場合，指定された$\stackrel{\text{けた}}{\text{桁}}$数の一つ下の桁を四捨五入し，解答せよ．途中で割り切れた場合，指定された桁まで$\overline{)\text{0}}$にマークすること．

(1)　$1$から$5$までの数字が，それぞれ$1$つずつ書かれた$5$枚のカードが，箱の中に入っている．この箱から，$2$枚のカードを同時に無作為に抽出するとき，取り出されたカードに書かれている数字の小さい方を$S\text{，}$大きい方を$T$とする．このとき$P(S=1)={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}\text{，}$$P(T=4)={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エオ}}}}$となる．同様にして$S\text{，}$$T$の確率分布を求めてからそれぞれの期待値を計算すると，$E(S)=\boxed{\text{カ}}\text{，}$$E(T)=\boxed{\text{キ}}$となる．したがって，$E(aS-1)$および$E(bT-1)$がカードの枚数$5$と等しくなるためには，$a=\boxed{\text{ク}}\text{，}$$b={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケ}}}{\boxed{\text{コ}}}}$でなければならない．

(2)　$1$から$5$までの数字が，それぞれ$1$つずつ書かれた何枚かのカードが，箱の中に入っている．$1$と書かれたカードが入っている割合を$p$とする．この箱から，カードを無作為に復元抽出する試行を$100$回行い，そのうち$1$と書かれたカードが取り出された回数を$X$とする．

(ⅰ)　もし$p={\displaystyle \frac{1}{5}}$であるとすれば，確率変数$X$は平均$\boxed{\text{サシ}}\text{，}$標準偏差$\boxed{\text{ス}}$の二項分布に従う．ここで，試行回数$100$は十分大きいと考えられるので，$R={\displaystyle \frac{X}{100}}$とおけば，$R$は近似的に平均${\displaystyle \frac{\boxed{\text{セ}}}{\boxed{\text{ソ}}}}\text{，}$標準偏差${\displaystyle \frac{\boxed{\text{タ}}}{\boxed{\text{チツ}}}}$の正規分布に従う．

(ⅱ)　$X$が$10$であったとき，$1$の出る割合$p$に対する信頼度$95\mathrm{\%}$の信頼区間は

$[\boxed{\text{テ}}.\boxed{\text{トナ}},\boxed{\text{ニ}}.\boxed{\text{ヌネ}}]$

と計算できる．ただし，$Z$を標準正規分布に従う確率変数とするとき，$P(-1.96\leqq Z\leqq 1.96)=0.95$である．