2013　室蘭工業大学　前期MathJax

【１】　$a\text{，}b$を定数とし，$a\ne 0$とする．関数$f(x)=a{x}^2-4x+b$は，条件

$x^2{f}^{″}(x)-x{f}^{\prime }(x)+f(x)=x^2+8$

を満たすとする．

(1)　$a\text{，}b$の値を求めよ．

(2)　直線$l$が，放物線$y=x^2$の接線であり，かつ放物線$y=f(x)$の接線でもあるとき，$l$の方程式を求めよ．

(3)　$2$つの放物線$y=x^2$と$y=f(x)\text{，}$および(2)で求めた接線$l$で囲まれた部分の面積を求めよ．

【２】　$2$つの曲線$y={\cos }^{2}x(-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})$と$y={\sin }^{2}x(-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})$を，それぞれ$C_1$と$C_2$とする．

(1)　$C_1$と$C_2$の$2$つの交点の座標を求めよ．

(2)　$C_1$と$C_2$で囲まれた部分$D$の面積を求めよ．

(3)　$D$を$x$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．

【３】　$p\text{，}q$を整数とし，$p>0$とする．数列$\{a_n\}$は

$a_1=36\text{，}{a}_{n+1}=a_n+2pn+q\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

を満たすとする．

(1)　$a_n$を$p\text{，}q\text{，}n$を用いて表せ．

(2)　$a_4>0$かつ$a_5<0$とする．このとき，$p\text{，}q$の値を求めよ．

(3)　(2)の条件のもとで，$a_n<0$を満たす$n$の値をすべて求めよ．

【４】　平面上の$4$点$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{P}$は互いに異なる点とする．三角形$\mathrm{OAB}$において$\left|\overrightarrow{\mathrm{OA}}\right|=2\text{，}$$\left|\overrightarrow{\mathrm{OB}}\right|=3\text{，}$かつ$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$のなす角が$60\mathrm{°}$とする．$l$は点$\mathrm{A}$を通り$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$が法線ベクトルである直線，$m$は点$\mathrm{B}$を通り$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$が法線ベクトルである直線とする．また，$l$と$m$は点$\mathrm{P}$で交わるとする．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\perp \overrightarrow{\mathrm{AP}}$であることを用いて，内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OP}}$を求めよ．

(2)　内積$\overrightarrow{\mathrm{OB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OP}}$を求めよ．

(3)　$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を満たす実数$s\text{，}t$の値を求めよ．

【５】　$s\text{，}t$を実数とする．行列$A=\left(\begin{array}{cc}-{\displaystyle \frac{1}{2}}& -{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\\ s& t\end{array}\right)$は逆行列$A^{-1}$をもち，$A^{-1}=A$であるとする．

(1)　$s\text{，}t$の値を求めよ．

(2)　行列$A$は直線$y=mx$（$m$は実数）に関する対称移動を表している．$m$の値を求めよ．