2013　小樽商科大学　前期MathJax

【１】　次の$\boxed{}$の中を適当に補って，それを答案用紙に書け．証明や説明を書かないこと．

(1)　実数$x\text{，}y$が$2x+y=\sqrt{2013}$を満たすとき，$xy$の最大値を求めると$\boxed{\text{(a)}}$．

【１】　次の$\boxed{}$の中を適当に補って，それを答案用紙に書け．証明や説明を書かないこと．

(2)　${\displaystyle \sum _{k=0}^n}{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}}}=\boxed{\text{(b)}}$．

【１】　次の$\boxed{}$の中を適当に補って，それを答案用紙に書け．証明や説明を書かないこと．

(3)　$0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$のとき，関数$y={\sin }^{3}x+{\cos }^{3}x$の最大値$M$と最小値$m$を$t=\sin x+\cos x$とおいて求めると$(M,m)=\boxed{\text{(c)}}$．

【２】　三角関数の加法定理を用いると

$\cos 2\theta =2{\cos }^2\theta -1\text{，}\sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta$

$\cos 3\theta =4{\cos }^3\theta -3\cos \theta \text{，}\sin 3\theta =3\sin \theta -4{\sin }^3\theta$

を導くことができる．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　加法定理と上の公式を利用して，$\cos 5\theta =16{\cos }^5\theta -20{\cos }^3\theta +5\cos \theta$を導け．

(2)　$x=\cos {\displaystyle \frac{2\pi }{5}}$とおくと，(1)より$16x^5-20x^3+5x-1=0$となる．この左辺を因数分解すると$(x-1){(a{x}^2+bx+c)}^2$となる．整数$a\text{，}b\text{，}c$を求めよ．ただし，$a>0$とする．

(3)　$\cos {\displaystyle \frac{2\pi }{5}}$の値を求めよ．

【３】　次の$\boxed{}$の中を適当に補って，それを答案用紙に書け．証明や説明を書かないこと．

(1)　$2$つのベクトル$\overrightarrow{a}=(-1,2)\text{，}\overrightarrow{b}=(x,1)$について，$2\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}$が垂直になるように，実数$x$を定めると$\boxed{\text{(ア)}}$．

【３】　次の$\boxed{}$の中を適当に補って，それを答案用紙に書け．証明や説明を書かないこと．

(2)　青玉$10$個，黄玉$10$個，黒玉$10$個，緑玉$10$個，赤玉$10$個の合計$50$個が入った壺がある．最初に$1$個とり出して，見ずに箱にしまっておく．その後，壺から$1$個ずつ玉を戻さずに$3$回とり出したら，$3$個とも赤玉であった．箱にしまっておいた玉が赤玉である確率は$\boxed{\text{(イ)}}$．

【３】　次の$\boxed{}$の中を適当に補って，それを答案用紙に書け．証明や説明を書かないこと．

(3)　曲線$y=-x(x-2)$と$x$軸で囲まれた面積を，直線$y=(-a+2)x$が$2$等分するとき，定数$a$を求めると$a=\boxed{\text{(ウ)}}$．

【４】　正方形${\mathrm{A}}_1{\mathrm{B}}_1{\mathrm{C}}_1{\mathrm{D}}_1$が右図のように与えられている．正方形${\mathrm{A}}_2{\mathrm{B}}_2{\mathrm{C}}_2{\mathrm{D}}_2\text{，}$正方形${\mathrm{A}}_3{\mathrm{B}}_3{\mathrm{C}}_3{\mathrm{D}}_3\text{，}\cdots \text{，}$正方形${\mathrm{A}}_n{\mathrm{B}}_n{\mathrm{C}}_n{\mathrm{D}}_n\text{，}$正方形${\mathrm{A}}_{n+1}{\mathrm{B}}_{n+1}{\mathrm{C}}_{n+1}{\mathrm{D}}_{n+1}\text{，}\cdots$を順に考える．ただし，${\mathrm{A}}_{n+1}\text{，}{\mathrm{B}}_{n+1}\text{，}{\mathrm{C}}_{n+1}\text{，}{\mathrm{D}}_{n+1}$はそれぞれ順に${\mathrm{A}}_n{\mathrm{B}}_n\text{，}{\mathrm{B}}_n{\mathrm{C}}_n\text{，}{\mathrm{C}}_n{\mathrm{D}}_n\text{，}{\mathrm{D}}_n{\mathrm{A}}_n$の中点，$\mathrm{O}$は${\mathrm{A}}_1{\mathrm{C}}_1$の中点である．正方形${\mathrm{A}}_n{\mathrm{B}}_n{\mathrm{C}}_n{\mathrm{D}}_n$の面積を$S_n$とする．その時，${\displaystyle \frac{S_n}{S_1}}$が初めて${\displaystyle \frac{1}{100}}$以下となる$n$の値とその時の$\angle {\mathrm{A}}_1\mathrm{O}{\mathrm{A}}_n$を求めよ．${\log }_{10}2=0.301$とする．

【５】　双曲線$y={\displaystyle \frac{1}{x}}+{\displaystyle \frac{4}{3}}$を$C_1\text{，}$曲線$y=-{\displaystyle \frac{1}{3}}{x}^3+a$を$C_2\text{，}{C}_2$と$x$軸の交点を通る$y$軸と平行な直線を$L$とする．ただし$a$は実数とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$C_1$と$C_2$が第一象限で接するとき，$a$の値を求めよ．

(2)　(1)で求めた$a$に対して，$C_1$と$C_2$と$L$で囲まれた部分の面積を求めよ．