2013　帯広畜産大学　前期総合問題MathJax

【１】　自然数$n$について，$\{a_n\}$は初項$a\text{，}$公差$d$の等差数列であり，その一般項を$a_n$で表し，初項から第$n$項までの和を$S_a(n)$で表す．また，$\{b_n\}$は一般項が$b_n=2^{a_n}$で定義される数列であり，その初項から第$n$項までの和を$S_b(n)$で表す．次の各問に解答しなさい．

問１　$a=1\text{，}d=2$とする．

(1)　$n$を用いて$a_n$と$S_a(n)$を表しなさい．

(2)　${\log }_{10}\{S_n(1000)\}$の値を求めなさい．

(3)　$10<S_n(n)<50$を満たすすべての$n$の値を求めなさい．

問２　$b_3=\sqrt[5]{4}\text{，}{b}_7=\sqrt[5]{64}$とする．

(1)　$a$と$d$の値を求めなさい．

(2)　$b_{n+1}$の$b_n$に対する比を求めなさい．

(3)　$n$を用いて$b_n$と$S_b(n)$を表しなさい．

(4)　$b_n=2$のとき，$n$と$S_b(n)$のそれぞれの値を求めなさい．

問３　自然数$m$について，$u=\sin a_{2m-1}+\cos a_{2m-1}\text{，}v=\sin a_{2m}-\cos a_{2m}\text{，}y=uv\text{，}0<a<2\pi \text{，}d=\pi$とする．

(1)　$u$の最大値と，$u$が最大値をとるときの$a$の値を求めなさい．

(2)　$v$の最大値と，$v$が最大値をとるときの$a$の値を求めなさい．

(3)　$y$の最大値と，$y$が最大値をとるときの$a$の値を求めなさい．

【２】　関数$f(x)={\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^3+a{x}^2+bx+c$で定義される曲線$y=f(x)$は，$3$点$(0,0)\text{，}(2,0)\text{，}(-2,0)$を通る．また，曲線$y=f(x)$を$x$軸方向に$1$だけ移動した曲線を$y=g(x)$とする．ただし，$a\text{，}b\text{，}c$は実数とする．次の各問に解答しなさい．

問１　$a\text{，}b\text{，}c$の値を求めなさい．

問２　関数$y=f(x)$の増減表を作り，そのグラフの概形を図示しなさい．

問３　曲線$y=f(x)$と円$x^2+y^2=4$のすべての交点を求めなさい．

問４　連立不等式

$\{\begin{array}{c}{x}^2+y^2\leqq 4\\ y\geqq f(x)\\ y\geqq g(x)\end{array}$

で示される領域を図示し，この領域の面積を求めなさい．