2013　旭川医科大学　前期MathJax

【１】　$x\text{，}y\text{，}z\text{，}p$は自然数で

$xy+yz+zx=pxyz\text{，}x\leqq y\leqq z\cdots \text{①}$

を満たしている．次の問いに答えよ．

問１　$p\leqq 3$を示せ．

問２　$\text{①}$を満たす自然数の組$(p,x,y,z)$をすべて求めよ．

【２】　$a$を正の実数とする．双曲線$C:x^2-a^2{y}^2+a^2=0$上の$4$点${\mathrm{A}}_1(0,1)\text{，}{\mathrm{A}}_2(0,-1)\text{，}{\mathrm{A}}_3(a,\sqrt{2})\text{，}{\mathrm{A}}_4(-2a,-\sqrt{5})$が与えられている．${\mathrm{A}}_1$における$C$の接線を$l_1\text{，}{\mathrm{A}}_3$における$C$の接線を$l_3$とする．次の問いに答えよ．

問１　$l_1$と$l_3$の交点$\mathrm{S}$の座標を求めよ．

問２　直線${\mathrm{A}}_1{\mathrm{A}}_2$と直線${\mathrm{A}}_3{\mathrm{A}}_4$の交点$\mathrm{U}$の座標，および直線${\mathrm{A}}_1{\mathrm{A}}_4$と直線${\mathrm{A}}_2{\mathrm{A}}_3$の交点$\mathrm{V}$の座標を求めよ．

問３　$3$点$\mathrm{S}\text{，}\mathrm{U}\text{，}\mathrm{V}$が同一直線上にあることを示せ．

【３】　$a$を正の実数とし，$f(x)=e^{-x}\sin ax$とおくとき，次の問いに答えよ．

問１　$n$を自然数とする．曲線$y=f(x)({\displaystyle \frac{2(n-1)\pi }{a}}\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{2n\pi }{a}})$と$x$軸で囲まれた部分の面積を$A_n$で表すとき，$A_n$を$a$と$n$を用いて表せ．

問２　$S={\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{A}_n$を$a$を用いて表せ．

問３　$\underset{a\to \infty }{\lim }S$を求めよ．

【４】　次の問いに答えよ．

問１　関数$y=x\log x-x\text{（}x>0\text{）}$の増減を調べ，そのグラフをかけ．

問２　$a$を正の実数とする．曲線$C:y=\log (x+1)$上の点$(t,\log (t+1))$における接線$l_t$が，曲線$C_a:y=a\log x$上の点$(s,a\log s)$における接線にもなっているとき，$t$と$s$の関係を$a$を含まない式で表せ．

問３　任意に与えられた$t>-1$に対して，直線$l_t$が曲線$C_a$の接線にもなっているような$a$が唯一つ存在すること，および$a>1$であることを示せ．

問４　直線$l_t$が曲線$C_a$の接線になっているとき，その接点の$x$座標を$s(t)$とかくことにする．$s(t)$を$t$の関数とみて増減を調べ，さらに$\underset{t\to \infty }{\lim }(s(t)-t)$を求めよ．