2013　東北大学　前期MathJax

【１】　$a$を実数とする．以下の問いに答えよ．

(1)　$2$次方程式$x^2-2(a+1)x+3a=0$が，$-1\leqq x\leqq 3$の範囲に$2$つの異なる実数解をもつような$a$の値の範囲を求めよ．

(2)　$a$が(1)で求めた範囲を動くとき，放物線$y=x^2-2(a+1)x+3a$の頂点の$y$座標が取りうる値の範囲を求めよ．

【２】　四面体$\mathrm{OABC}$において，$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=\mathrm{OC}=1$とする．$\angle \mathrm{AOB}=60\mathrm{°}\text{，}\angle \mathrm{BOC}=45\mathrm{°}\text{，}\angle \mathrm{COA}=45\mathrm{°}$とし，$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}\text{，}\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$とおく．点$\mathrm{C}$から面$\mathrm{OAB}$に垂線を引き，その交点を$\mathrm{H}$とする．

(1)　ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．

(2)　$\mathrm{CH}$の長さを求めよ．

(3)　四面体$\mathrm{OABC}$の体積を求めよ．

【３】　$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$の$2$人が，サイコロを$1$回ずつ交互に投げるゲームを行う．自分の出したサイコロの目を合計して先に$6$以上になった方を勝ちとし，その時点でゲームを終了する．$\mathrm{A}$から投げ始めるものとし，以下の問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{B}$がちょうど$1$回投げて$\mathrm{B}$が勝ちとなる確率を求めよ．

(2)　$\mathrm{B}$がちょうど$2$回投げて$\mathrm{B}$が勝ちとなる確率を求めよ．

(3)　$\mathrm{B}$がちょうど$2$回投げて，その時点でゲームが終了していない確率を求めよ．

【４】　$t$は$0\leqq t\leqq 1$を満たす実数とする．放物線$y=x^2\text{，}$直線$x=1\text{，}$および$x$軸とで囲まれた図形を$A\text{，}$放物線$y=4{(x-t)}^2$と直線$y=1$とで囲まれた図形を$B$とする．$A$と$B$の共通部分の面積を$S(t)$とする．

(1)　$S(t)$を求めよ．

(2)　$0\leqq t\leqq 1$における$S(t)$の最大値を求めよ．

【１】　$k$を実数とする．$3$次式$f(x)=x^3-k{x}^2-1$に対し，方程式$f(x)=0$の$3$つの解を$\alpha \text{，}\beta \text{，}\gamma$とする．$g(x)$は$x^3$の係数が$1$である$3$次式で，方程式$g(x)=0$の$3$つの解が$\alpha \beta \text{，}\beta \gamma \text{，}\gamma \alpha$であるものとする．

(1)　$g(x)$を$k$を用いて表せ．

(2)　$2$つの方程式$f(x)=0$と$g(x)=0$が共通の解をもつような$k$の値を求めよ．

【３】　$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$の$2$人が，サイコロを$1$回ずつ交互に投げるゲームを行う．自分の出したサイコロの目を合計して先に$6$以上になった方を勝ちとし，その時点でゲームを終了する．$\mathrm{A}$から投げ始めるものとし，以下の問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{A}$がちょうど$2$回投げて$\mathrm{A}$が勝ちとなる確率を求めよ．

(2)　$\mathrm{B}$がちょうど$2$回投げて$\mathrm{B}$が勝ちとなる確率を求めよ．

(3)　$\mathrm{B}$がちょうど$3$回投げて，その時点でゲームが終了していない確率を求めよ．

【４】　数列$\{a_n\}\text{，}\{b_n\}$を

$a_n={\displaystyle {\int }_{-\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{6}}}{e}^{n\sin \theta }d\theta \text{，}{b}_n={\displaystyle {\int }_{-\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{6}}}{e}^{n\sin \theta }\cos \theta d\theta \text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で定める．ただし$e$は自然対数の底とする．

(1)　一般項$b_n$を求めよ．

(2)　すべての$n$について，$b_n\leqq a_n\leqq {\displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}}}{b}_n$が成り立つことを示せ．

(3)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{1}{n}}\log (n{a}_n)$を求めよ．ただし，対数は自然対数とする．

【５】　$2$次の正方行列$A$を$A=\left(\begin{array}{cc}-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}& -{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}\\ {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}& -{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}\end{array}\right)$で定める．$n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots$に対して，点${\mathrm{P}}_n(x_n,y_n)$を関係式

$\left(\begin{array}{c}{x}_n\\ y_n\end{array}\right)=A\left(\begin{array}{c}{x}_{n-1}\\ y_{n-1}\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で定める．ただし，$x_0=1\text{，}{y}_0=0$とする．

(1)　$A^4$を求めよ．

(2)　$n=0\text{，}1\text{，}2\text{，}\cdots$に対して，

$\left(\begin{array}{c}{x}_n\\ y_n\end{array}\right)=(E-A^{n+1}){(E-A)}^{-1}\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)$

が成り立つことを示せ．ただし，$E$は$2$次の単位行列とする．

(3)　原点$\mathrm{O}$から${\mathrm{P}}_n$までの距離$\mathrm{O}{\mathrm{P}}_n$が最大となる$n$を求めよ．

【６】　半径$1$の円を底面とする高さ${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}$の直円柱がある．底面の円の中心を$\mathrm{O}$とし，直径を$1$つ取り$\mathrm{AB}$とおく．$\mathrm{AB}$を含み底面と$45\mathrm{°}$の角度をなす平面でこの直円柱を$2$つの部分に分けるとき，体積の小さい方の部分を$V$とする．

(1)　直径$\mathrm{AB}$と直交し，$\mathrm{O}$との距離が$t\text{（}0\leqq t\leqq 1\text{）}$であるような平面で$V$を切ったときの断面積$S(t)$を求めよ．

(2)　$V$の体積を求めよ．

文系・理系の学部・学科別

文系　文学部・教育学部・法学部・経済学部・医学部（保健学科看護学専攻）

理系　理学部・医学部（医学科，保健学科放射線技術科学専攻・検査技術科学専攻）・歯学部・薬学部・工学部・農学部