2013 東北大学 後期MathJax

Mathematics

Examination

Test

Archives

2013 東北大学 後期

経済,理学部共通

易□ 並□ 難□

【1】  a1 を満たす実数 a に対して, 2 つの放物線 C :y=x 2-a x-a D :y=a x2 +ax を考える.

(1)  2 つの放物線 C D が異なる 2 点で交わるような a の値の範囲を求めよ.

(2)  a が(1)で求めた範囲にあるとき, C D 2 つの交点を通る直線の傾きを m とする. m が最大になるように a の値を定め,そのときの m の値を求めよ.

2013 東北大学 後期

経済学部

理学部【1】の類題

易□ 並□ 難□

【2】  2 次方程式 4 x2 +2x -1=0 2 つの解を α β α>β とする.

(1)  α=cos θ となる角 θ が, π 3θ π2 の範囲に 1 つだけ存在することを示せ.

(2) (1)の θ について, β=cos 2θ が成り立つことを示せ.

(3) (1)の θ の値を求めよ.

2013 東北大学 後期

経済,理学部共通

理学部では【4】

易□ 並□ 難□

【3】 袋の中に 1 2 3 4 5 の番号が 1 つずつ書かれた 5 つの玉が入っている.この中から無作為に 1 個の玉を取り出し,玉に書かれている数字を記録したのち袋に戻すという操作を行う.その操作を繰り返し,記録された数字の和が 3 の倍数になった時点で終了する.ただし, 1 回目で 3 の倍数が出た場合は,その時点で終了とする. n 回目の操作で終了する確率を p n とする.

(1)  p1 p2 を求めよ.

(2)  n3 のとき, pn n の式で表せ.

2013 東北大学 後期

経済学部

理学部【2】の類題

易□ 並□ 難□

【4】  1 辺の長さが 1 の正四面体 OABC において,辺 OA 3 :1 に内分する点を D OB 2 :1 に内分する点を E AC 2 :1 に内分する点を F とする. 3 D E F が定める平面を α とし,平面 α と辺 BC との交点を G とする.

(1)  OG OB OC を用いて表せ.

(2)  EFG の面積を求めよ.

2013 東北大学 後期

理学部

経済学部【2】の類題

易□ 並□ 難□

【1】  2 次方程式 4 x2 +2x -1=0 2 つの解を α β α>β とする.

(1)  α=cos θ となる角 θ が, π 3θ π2 の範囲に 1 つだけ存在することを示せ.

 以下, θ は(1)で定まるものとする.

(2)  β=cos 2θ であることを示せ.

(3)  θ の値を求めよ.

(4)  sin 3 θ4 を求めよ.

2013 東北大学 後期

理学部

経済学部【4】の類題

易□ 並□ 難□

【2】  t 0 <t<1 を満たす実数とする. 1 辺の長さが 1 の正四面体 OABC において,辺 OA t :(1 -t) に内分する点を D OB 2 :1 に内分する点を E AC 2 :1 に内分する点を F とする. 3 D E F が定める平面を α とし,平面 α と辺 BC との交点を G とする.

(1)  OG OB OC および t を用いて表せ.

(2)  0<t <1 における EFG の面積の最小値を求めよ.

2013 東北大学 後期

理学部

易□ 並□ 難□

【3】  2 つの双曲線 C :x2 -y2 =1 D: x2- y2= -1 および直線 l :y=a x+b を考える.ただし, a b は実数とする.

(1)  C l がちょうど 2 点で交わるような点 ( a,b ) の存在する範囲を求めよ.

(2)  C l がちょうど 1 点で交わるような点 ( a,b ) の存在する範囲を図示せよ.

(3)  C l の交点の個数と D l の交点の個数との和が,ちょうど 2 となるような点 ( a,b ) の存在する範囲を図示せよ.

2013 東北大学 後期

理学部

易□ 並□ 難□

【5】  p 0 <p<1 を満たす実数とする.数列 { an } は, a 1=1 および関係式

1 a1 + 1a2 + +1 an =1 an+1 + p n=1 2 3

を満たすものとする.

(1)  n2 のとき, an を求めよ.

(2)  n= 1 n an= 20 であるとき, p の値を求めよ.

2013 東北大学 後期

理学部

易□ 並□ 難□

【6】 座標平面において,点 ( 1,1 ) を中心とする半径 1 の円の内部を D とする. r を正の実数とし, 3 ( 0,0 ) (r ,0) ( 0,r ) を頂点とする三角形を T とする. T D の共通部分を T から取り除いて得られる図形の面積を S (r ) とする. S( r)- 2r の最小値とそれを与える r の値を求めよ.

inserted by FC2 system