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2013-10081-0201
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2013 東北大学 後期
経済,理学部共通
易□ 並□ 難□
【1】 a≧1 を満たす実数 a に対して, 2 つの放物線 C :y=x 2-a⁢ x-a と D :y=a ⁢x2 +a⁢x を考える.
(1) 2 つの放物線 C と D が異なる 2 点で交わるような a の値の範囲を求めよ.
(2) a が(1)で求めた範囲にあるとき, C と D の 2 つの交点を通る直線の傾きを m とする. m が最大になるように a の値を定め,そのときの m の値を求めよ.
2013-10081-0202
経済学部
理学部【1】の類題
【2】 2 次方程式 4 ⁢x2 +2⁢x -1=0 の 2 つの解を α , β ( α>β ) とする.
(1) α=cos ⁡θ となる角 θ が, π 3≦θ ≦ π2 の範囲に 1 つだけ存在することを示せ.
(2) (1)の θ について, β=cos ⁡2⁢θ が成り立つことを示せ.
(3) (1)の θ の値を求めよ.
2013-10081-0203
理学部では【4】
【3】 袋の中に 1 ,2 , 3 ,4 , 5 の番号が 1 つずつ書かれた 5 つの玉が入っている.この中から無作為に 1 個の玉を取り出し,玉に書かれている数字を記録したのち袋に戻すという操作を行う.その操作を繰り返し,記録された数字の和が 3 の倍数になった時点で終了する.ただし, 1 回目で 3 の倍数が出た場合は,その時点で終了とする. n 回目の操作で終了する確率を p n とする.
(1) p1 , p2 を求めよ.
(2) n≧3 のとき, pn を n の式で表せ.
2013-10081-0204
理学部【2】の類題
【4】 1 辺の長さが 1 の正四面体 OABC において,辺 OA を 3 :1 に内分する点を D , 辺 OB を 2 :1 に内分する点を E , 辺 AC を 2 :1 に内分する点を F とする. 3 点 D , E , F が定める平面を α とし,平面 α と辺 BC との交点を G とする.
(1) OG→ を OB → と OC → を用いて表せ.
(2) ▵EFG の面積を求めよ.
2013-10081-0205
理学部
経済学部【2】の類題
【1】 2 次方程式 4 ⁢x2 +2⁢x -1=0 の 2 つの解を α , β ( α>β ) とする.
以下, θ は(1)で定まるものとする.
(2) β=cos ⁡2⁢θ であることを示せ.
(3) θ の値を求めよ.
(4) sin⁡ 3 ⁢θ4 を求めよ.
2013-10081-0206
経済学部【4】の類題
【2】 t は 0 <t<1 を満たす実数とする. 1 辺の長さが 1 の正四面体 OABC において,辺 OA を t :(1 -t) に内分する点を D , 辺 OB を 2 :1 に内分する点を E , 辺 AC を 2 :1 に内分する点を F とする. 3 点 D , E , F が定める平面を α とし,平面 α と辺 BC との交点を G とする.
(1) OG→ を OB→ , OC→ , および t を用いて表せ.
(2) 0<t <1 における ▵EFG の面積の最小値を求めよ.
2013-10081-0207
【3】 2 つの双曲線 C :x2 -y2 =1 ,D: x2- y2= -1 , および直線 l :y=a ⁢x+b を考える.ただし, a ,b は実数とする.
(1) C と l がちょうど 2 点で交わるような点 ( a,b ) の存在する範囲を求めよ.
(2) C と l がちょうど 1 点で交わるような点 ( a,b ) の存在する範囲を図示せよ.
(3) C と l の交点の個数と D と l の交点の個数との和が,ちょうど 2 となるような点 ( a,b ) の存在する範囲を図示せよ.
2013-10081-0208
【5】 p は 0 <p<1 を満たす実数とする.数列 { an } は, a 1=1 および関係式
1 a1 + 1a2 +⋯ +1 an =1 an+1 + p ( n=1 ,2 ,3 ,⋯ )
を満たすものとする.
(1) n≧2 のとき, an を求めよ.
(2) ∑n= 1∞ ⁡n⁢ an= 20 であるとき, p の値を求めよ.
2013-10081-0209
【6】 座標平面において,点 ( 1,1 ) を中心とする半径 1 の円の内部を D とする. r を正の実数とし, 3 点 ( 0,0 ), (r ,0) ,( 0,r ) を頂点とする三角形を T とする. T と D の共通部分を T から取り除いて得られる図形の面積を S ⁡(r ) とする. S⁡( r)- 2⁢r の最小値とそれを与える r の値を求めよ.