2013　宮城教育大学　前期MathJax

【１】　以下の問いに答えよ．

(1)　$a>0\text{，}b>0$とする．$a\ne b$であるための必要十分条件は，

${\displaystyle \frac{a+b}{2}}>\sqrt{ab}$

であることを示せ．

(2)　$a>0\text{，}b>0\text{，}a\ne b$とする．

$p=a+b-\sqrt{ab}\text{，}q={\displaystyle \frac{1}{a}}+{\displaystyle \frac{1}{b}}-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{ab}}}$

とおくとき，$pq>1$であることを示せ．ただし，必要があれば，(1)の結果を用いてよい．

【２】　関数$f(x)=x^3-3ax$について次の問いに答えよ．ただし，$a$は正の定数である．

(1)　関数$y=f(x)$の増減，極値を調べ，そのグラフの概形をかけ．

(2)　定数$k$が$0<k\leqq \sqrt{a}$の範囲にあるとき，$-k\leqq x\leqq 2k$における$f(x)$の最大値と最小値を求めよ．

【３】　空間内に$1$辺の長さが$1$の正四面体$\mathrm{ABCD}$と点$\mathrm{O}$があり，

$\left|\overrightarrow{\mathrm{AO}}\right|=\left|\overrightarrow{\mathrm{BO}}\right|=\left|\overrightarrow{\mathrm{CO}}\right|=\left|\overrightarrow{\mathrm{DO}}\right|$

を満たしている．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{c}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{d}$とおくとき，次の問いに答えよ．

(1)　空間内の点$\mathrm{P}$について，$l\text{，}m\text{，}n$を実数とし，

$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=l\overrightarrow{b}+m\overrightarrow{c}+n\overrightarrow{d}$

とする．このとき，${\left|\overrightarrow{\mathrm{AP}}\right|}^2\text{，}{\left|\overrightarrow{\mathrm{BP}}\right|}^2$をそれぞれ$l\text{，}m\text{，}n$を用いて表せ．また，${\left|\overrightarrow{\mathrm{AP}}\right|}^2={\left|\overrightarrow{\mathrm{BP}}\right|}^2$であるための必要十分条件を$l\text{，}m\text{，}n$を用いて表せ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{AO}}={\displaystyle \frac{1}{4}}(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}+\overrightarrow{d})$であることを示せ．

(3)　線分$\mathrm{BC}$を$1:4$に内分する点を$\mathrm{E}$とする．$3$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$を通る平面と直線$\mathrm{EO}$との交点を$\mathrm{F}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{AF}}$を$\overrightarrow{c}\text{，}\overrightarrow{d}$を用いて表せ．

【２】　$2$曲線$C_1\text{：}y={(x-{\displaystyle \frac{1}{2}})}^2-{\displaystyle \frac{1}{2}}\text{，}{C}_2\text{：}y={(x-{\displaystyle \frac{5}{2}})}^2-{\displaystyle \frac{5}{2}}$の両方に接する直線を$l$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　直線$l$の方程式を求めよ．

(2)　$2$曲線$C_1\text{，}{C}_2$と直線$l$で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．

【１】　以下の問いに答えよ．

(1)　$a>0\text{，}b>0$とする．$a\ne b$であるための必要十分条件は，

${\displaystyle \frac{a+b}{2}}>\sqrt{ab}$

であることを示せ．

(2)　$a>0\text{，}b>0\text{，}a\ne b$とする．

$p=a+b-\sqrt{ab}\text{，}q={\displaystyle \frac{1}{a}}+{\displaystyle \frac{1}{b}}-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{ab}}}$

とおくとき，$pq>1$であることを示せ．ただし，必要があれば，(1)の結果を用いてよい．

(3)　$a>0\text{，}b>0\text{，}ab>1$とする．$x$の$2$次方程式

$x^2-(a+\sqrt{{\displaystyle \frac{a}{b}}})x+{\displaystyle \frac{a}{b}}=0$

は，相異なる$2$つの正の実数解をもつことを示せ．

【２】　数列$\{a_n\}$が条件

$3a_n=S_n+p{n}^2+qn+r\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{），}$

$a_1=1\text{，}{a}_2=2\text{，}{a}_3=5$

を満たすとする．ただし，$S_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{a}_k$であり，$p\text{，}q\text{，}r$は定数である．次の問いに答えよ．

(1)　$p\text{，}q\text{，}r$の値を求めよ．

(2)　$S_{n+1}-S_n$を考えることにより，$a_{n+1}$を$a_n$と$n$を用いて表せ．

(3)　$b_n=a_{n+1}-a_n+3$とおくとき，数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．

(4)　数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

【４】　$x>0$のとき，以下の問いに答えよ．

(1)　不等式$2\sqrt{x}>\log x$を示せ．

(2)　関数$y={\displaystyle \frac{1-\log x}{x^2}}$の増減，極値，グラフの凹凸および変曲点を調べ，そのグラフの概形をかけ．ただし，必要があれば，(1)の結果を用いてよい．

【５】　以下の問いに答えよ．

(1)　$a>0$のとき，

$S(a)={\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}|\sin 2x-a\cos x|dx$

とする．$S(a)$の最小値を求めよ．

(2)　$a>2$のとき，$2$曲線$y=\sin 2x\text{，}y=a\cos x(0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})$と$y$軸で囲まれる図形を考える．この図形を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を$a$を用いて表せ．