2013　秋田大学　前期MathJax

【１】　次の問いに答えよ．

(ⅰ)　$2$次方程式$x^2-2ax+2a+3=0$が異なる$2$つの実数解をもち，その$2$つの実数解がともに$1$以上$5$以下であるように，定数$a$の値の範囲を定めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(ⅱ)　多項式$4x^4+7x^2+16$を因数分解せよ．

【２】　$a\text{，}b\text{，}c\text{，}x\text{，}y\text{，}z$はすべて正の実数である．次の問いに答えよ．

(ⅰ)　不等式$(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)\geqq {(ax+by+cz)}^2$が成り立つことを証明せよ．

(ⅱ)　(ⅰ)において等号が成り立つのはどのようなときかを示せ．

(ⅲ)　$a^2+b^2+c^2=25\text{，}{x}^2+y^2+z^2=36\text{，}ax+by+cz=30$のとき，${\displaystyle \frac{a+b+c}{x+y+z}}$の値を求めよ．

【３】　大小$2$個のさいころを投げて，出る目をそれぞれ$a\text{，}b$とする．次の問いに答えよ．

(ⅰ)　$xy$平面上の$2$直線$y={\displaystyle \frac{1}{a}}x+1\text{，}y=(b+1)x$のなす鋭角を$\theta$とする．

$\text{①}$　$\tan \theta$を$a$と$b$を用いて表せ．

$\text{②}$　$\tan \theta \leqq 1$となる確率を求めよ．

(ⅱ)　$xy$平面上で，連立不等式$x\geqq 0\text{，}y\geqq 0\text{，}2x+y\leqq 4$の表す領域を$D$とする．点$(x,y)$がこの領域$D$を動くとき，${\displaystyle \frac{b}{a}}x+y$の最大値を$M$とする．

$\text{①}$　${\displaystyle \frac{b}{a}}\leqq 2$のとき，$M$を求めよ．

$\text{②}$　${\displaystyle \frac{b}{a}}>2$のとき，$M$を$a$と$b$を用いて表せ．

$\text{③}$　$M$の期待値を求めよ．　

【１】　円$x^2+y^2=1$を$C_1$とし，点$\mathrm{P}(0,-1)$を通り，傾きが$m$の直線を$l$とする．ただし，$m>1$である．次の問いに答えよ．

(ⅰ)　円$C_1$と直線$l$の交点のうち，$\mathrm{P}$と異なるものを$\mathrm{Q}$とする．点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．さらに，点$\mathrm{Q}$における円$C_1$の接線の方程式を求めよ．

(ⅱ)　原点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{P}$および(ⅰ)の点$\mathrm{Q}$の$3$点を通る円を$C_2$とする．$C_2$の方程式を求めよ．

(ⅲ)　$m=\sqrt{3}$のとき，円$C_1$と(ⅱ)の円$C_2$の両方に接する直線の方程式を求めよ．

【２】　$▵\mathrm{OAB}$において，辺$\mathrm{AB}$上に$t\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm{AC}}\text{（}0<t<1\text{）}$となる点$\mathrm{C}$をとる．$\mathrm{OA}=1\text{，}\mathrm{OB}=2\text{，}\mathrm{OC}=1$のとき，次の問いに答えよ．

(ⅰ)　$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}$および$t$を用いて表せ．

(ⅱ)　内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$を$t$を用いて表せ．

(ⅲ)　$\mathrm{AC}=1$のとき，$t$の値を求めよ．

【３】　関数$f(x)=\sin x+{\displaystyle \frac{1}{2}}\sin 2x\text{（}0\leqq x\leqq 2\pi \text{）}$について，次の問いに答えよ．

(ⅰ)　$f(x)$の増減を調べ，最大値と最小値を求めよ．

(ⅱ)　曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた図形を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を求めよ．

【１】　関数$f_n(x)\text{（}x\geqq 0\text{）}$を

$f_1(x)=|x-1|\text{，}{f}_{n+1}(x)=|f_n(x)-(n+1)|\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で定める．次の問いに答えよ．

(ⅰ)　関数$y=f_2(x)$と$y=f_3(x)$のグラフをかけ．

(ⅱ)　$a_n=f_n(0)$とおく．数列$\{a_n\}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$の一般項を求めよ．

(ⅲ)　$f_n(\alpha )=0$を満たす$\alpha$に対し，

$f_{n-i}(\alpha )=in-{\displaystyle \frac{i(i-1)}{2}}\text{（}i=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{，}n-1\text{）}$

が成立することを証明せよ．

(ⅳ)　$f_n(\alpha )=0$を満たす$\alpha$を$n$の式で表せ．

【２】　$k$を整数とし，$0\leqq x\leqq \pi$において，$f(x)=e^x\sin \{(4k+1)x\}\text{，}g(x)=e^x\sin x$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(ⅰ)　$k=2$のとき，$2$つの曲線$y=f(x)\text{，}y=g(x)$の共有点の$x$座標を求めよ．

(ⅱ)　$k=-1$のとき，$2$つの曲線$y=f(x)\text{，}y=g(x)$で囲まれた図形の面積を求めよ．

(ⅲ)　任意の整数$k$に対して，$2$つの曲線$y=f(x)\text{，}y=g(x)$の共有点のうちに，その点におけるそれぞれの曲線の接線が一致するものがあることを示せ．

【３】　空間内の点$\mathrm{P}(1,-1,-2)$を出発して，$3$点$\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}\text{，}\mathrm{S}$で向きを変えてもとの点$\mathrm{P}$に戻る折れ線$\mathrm{PQRSP}$を，$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}=(-2,4,5)\text{，}\overrightarrow{\mathrm{QR}}=(2,1,1)\text{，}\overrightarrow{\mathrm{RS}}=(-3,-4,-2)$となるように定める．このとき，次の問いに答えよ．

(ⅰ)　点$\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}\text{，}\mathrm{S}$の座標をそれぞれ求めよ．

(ⅱ)　平面上の点${\mathrm{P}}^{\prime }\text{，}{\mathrm{Q}}^{\prime }\text{，}{\mathrm{R}}^{\prime }\text{，}{\mathrm{S}}^{\prime }$を，それぞれ点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}\text{，}\mathrm{S}$の$x\text{，}y$座標を取り出して得られる点とする．例えば，点${\mathrm{P}}^{\prime }$の座標は$(1,-1)$となる．このとき，平面上の線分${\mathrm{P}}^{\prime }{\mathrm{Q}}^{\prime }$と線分${\mathrm{R}}^{\prime }{\mathrm{S}}^{\prime }$の交点${\mathrm{M}}^{\prime }$を求めよ．

(ⅲ)　線分$\mathrm{PQ}$上の点${\mathrm{M}}_1$と線分$\mathrm{RS}$上の点${\mathrm{M}}_2$を，${\mathrm{M}}_1$の$x\text{，}y$座標が${\mathrm{M}}_2$の$x\text{，}y$座標とそれぞれ等しくなる点とする．$2$点${\mathrm{M}}_1\text{，}{\mathrm{M}}_2$間の距離を求めよ．

(ⅳ)　空間内の点$\mathrm{X}$が，点$\mathrm{Q}$を出発して点$\mathrm{P}$まで，$\mathrm{Q}\to \mathrm{R}\to \mathrm{S}\to \mathrm{P}$の順に折れ線上を動く．点$\mathrm{X}$から直線$\mathrm{PQ}$上に垂線を引き，その交点を$\mathrm{H}$とする．点$\mathrm{H}$が$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$と同じ向きに動いた距離の総和と，逆の向きに動いた距離の総和を，それぞれ求めよ．